归并排序与数组中的逆序对算法解析

算法总结及流程解析

48.数组中的逆序对

题目链接

• LCR 170. 交易逆序对的总数 - 力扣（LeetCode）

题目描述

题目示例

解法（利用归并排序的过程——分治）

算法思路

用归并排序求逆序数是很经典的方法，主要就是在归并排序的合并过程中统计出逆序对的数量，也就是在合并两个有序序列的过程中，能够快速求出逆序对的数量。

我们将这个问题分解成几个小问题，逐一破解这道题。 (注意：默认都是升序，如果掌握升序的话，降序的归并过程也是可以解决问题的。)

先解决第一个问题，为什么可以利用归并排序？

如果我们将数组从中间划分成两个部分，那么我们可以将逆序对产生的方式划分成三组：

逆序对中两个元素：全部从左数组中选择

逆序对中两个元素：全部从右数组中选择

逆序对中两个元素：一个选左数组另一个选右数组

根据排列组合的分类相加原理，三种情况下产生的逆序对的总和，正好等于总的逆序对数量。

而这个思路正好匹配归并排序的过程：

先排序左数组；

再排序右数组；

左数组和右数组合二为一。

因此，我们可以利用归并排序的过程，先求出左半数组中逆序对的数量，再求出右半数组中逆序对的数量，最后求出一个选择左边，另一个选择右边情况下逆序对的数量，三者相加即可。

解决第二个问题，为什么要这么做？

在归并排序合并的过程中，我们得到的是两个有序的数组。我们是利用数组的有序性，快速统计出逆序对的数量，而不是将所有情况都枚举出来。

最核心的问题，如何在合并两个有序数组的过程中，统计出逆序对的数量？合并两个有序序列时求逆序对的方法有两种：

1. 快速统计出某个数前面有多少个数比它大；
2. 快速统计出某个数后面有多少个数比它小；

C++ 算法代码

class Solution {
public:
    int count = 0;
    vector<int> tmp; // 用于存放两个有序数组合并后的结果

    int reversePairs(vector<int>& record) {
        tmp.resize(record.size());
        mergesort(record, 0, record.size() - 1);
        return count;
    }

    void mergesort(vector<int>& nums, int left, int right) {
        if (left >= right) // 正常归并排序递归的结束条件不用包含 left>right
        // 因为归并是分两块，最小的情况就是两个数分成各一个，不存在越界的情况
        // 但是此题有空数组的案例，所以一开始 left=0，right=-1，要考虑在内
        {
            return;
        }
        // 1、选择中间点划分区间
        int mid = (right - left) / 2 + left;
        // 将数组分成两块：[left, mid] [mid + 1, right]
        // 2、把左右区间排序
        mergesort(nums, left, mid);
        mergesort(nums, mid + 1, right);
        // 3、判断两个有序数组一左一右的逆序对个数，并且将两个数组合并成一个有序数组
        int cur1 = left, cur2 = mid + 1, i = 0;
        
        //(1) 将数组排成升序的思路：
        while (cur1 <= mid && cur2 <= right) {
            if (nums[cur1] <= nums[cur2]) {
                tmp[i++] = nums[cur1++];
            } else {
                // 当第一次遇见 nums[cur1] > nums[cur2],说明 [cur1, mid] 区间所有值都大于 nums[cur2]
                // 计算当前 nums[cur2] 的逆序对个数
                count += mid - cur1 + 1;
                tmp[i++] = nums[cur2++];
            }
        }
        
        //(2) 将数组排成降序的思路：
        // while(cur1 <= mid && cur2 <= right)
        // {
        //     if(nums[cur1] > nums[cur2])
        //     {
        //         count += right - cur2 + 1;
        //         tmp[i++] = nums[cur1++];
        //     }
        //     else
        //     {
        //         tmp[i++] = nums[cur2++];
        //     }
        // }
        
        // 处理还没有排序的剩余部分
        while (cur1 <= mid) {
            tmp[i++] = nums[cur1++];
        }
        while (cur2 <= right) {
            tmp[i++] = nums[cur2++];
        }
        // 将两个数组有序合并到 tmp 中后，再还原给原数组 nums 对应部分位置
        for (int i = left; i <= right; i++) {
            nums[i] = tmp[i - left]; // tmp 数组每次都是以开头下标 0 的位置合并两个数组
        }
    }
};

算法总结及流程解析

结束语

到此，47.归并排序，48.数组中的逆序对这两道算法题就讲解完了。归并排序采用分治思想，先将数组不断二分至单个元素，再通过有序合并操作完成排序，时间复杂度为 O(nlogn)。