前缀和技巧详解：和为 K、被 K 整除、连续数组及矩阵区域和

1. 和为 K 的子数组

题目链接：560. 和为 K 的子数组

算法思路：前缀和 + 哈希表

sum[i] 表示（0，i）之间的前缀和，当 x 为起始位置，i 元素结尾的数组和为 k 时，也就是相当于在（0，x）区间前缀和为 sum - k，因此也就是求出在（0，i-1）内有多少个前缀和为 sum - k 的数组即可。

但是也不需要真的定义一个前缀和，使用 sum 累加计算即可。前缀和处理的时机应该是遍历到哪个元素，就计算哪个元素之前的前缀和，因为当整个前缀和都预处理出来时，在哈希表中寻找可能会重复还未遍历到的元素的前缀和。

算法代码：

public int subarraySum(int[] nums, int k) {
    Map<Integer, Integer> hash = new HashMap<>();
    hash.put(0, 1);
    int sum = 0, ret = 0;
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        sum += nums[i];
        ret += hash.getOrDefault(sum - k, 0);
        hash.put(sum, hash.getOrDefault(sum, 0) + 1);
    }
    return ret;
}

2. 和可被 k 整除的子数组

题目链接：974. 和可被 k 整除的子数组

算法思路：前缀和 + 哈希表

该题和上道题基本类似，只不过用到了同余定理：(a - b) % k == 0 得到 a % k == b % k，该题也就是找在（0，i-1）区间内有多少个前缀和的余数为 sum[i] % k。

细节：前缀和中存的应该是前缀和的余数。

算法代码：

public int subarraysDivByK(int[] nums,  k) {
    Map<Integer, Integer> hash =  <>();
    hash.put(, );
       , ret = ;
     (   ; i < nums.length; i++) {
        sum += nums[i];
           (sum % k + k) % k;
        ret += hash.getOrDefault(r, );
        hash.put(r, hash.getOrDefault(r, ) + );
    }
     ret;
}