二分答案专题：木材加工与砍树算法详解

前言

二分答案是算法竞赛与笔试中极具技巧性的高分解法，核心思路是将复杂求解转化为简洁的二分 + 判定，专门解决「最大值最小」「最小值最大」等经典问题。本文从原理到实战，结合两道高频例题，带你从零掌握二分答案的核心逻辑与代码模板。

一、二分答案

严格来说，二分答案应该叫做「二分答案 + 判断」。它主要处理大部分「最大值最小」以及「最小值最大」的问题。如果解空间在从小到大的变化过程中，判断答案的结果出现二段性（即满足条件的部分和不满条件的部分各占一段），此时我们就可以对解空间进行二分，通过判断函数找出最优解。

二、二分答案经典算题

2.1 木材加工

题目

给定 N 根原木，长度分别为 a[1]...a[N]。现在需要切出 K 段长度相等的木条，问每段木条的最大长度是多少？

算法原理

这道题是典型的「最大化最小值」问题。假设我们切出的长度为 x，那么对于每一根原木 a[i]，可以切出 a[i]/x 段。总段数 sum(a[i]/x) 必须大于等于 K。

随着 x 的增大，能切出的段数会单调递减；随着 x 的减小，能切出的段数会单调递增。这种单调性使得我们可以使用二分查找来确定最大的 x。

代码

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
typedef long long LL;

LL a[N], n, k;

// 计算在切割长度为 x 情况下能切几段
LL calc(LL x) {
    LL cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cnt += a[i] / x;
    }
    return cnt;
}

int main() {
    cin >> n >> k;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];

    // 二分边界：左边界为 0，右边界设为一个足够大的数（如 1e8）
    int l = 0, r = 1e8;
    while (l < r) {
        LL mid = (l + r + 1) / 2;
        if ((mid) >= k) l = mid;
         r = mid - ;
    }
    cout << l << endl;
     ;
}