二分查找实战：A-B 数对与高考志愿问题解析

1. lower_bound：传入要查询区间的左右迭代器（注意是左闭右开区间，如果是数组就是左右指针）以及要查询的值 k，返回该数组中 >= k 的第一个位置。
2. upper_bound：传入要查询区间的左右迭代器（注意是左闭右开的区间，如果是数组就是左右指针）以及要查询的值 k，返回该数组中 > k 的第一个位置；

例：a = [10, 20, 20, 20, 30, 40]，设下标从 1 开始计数，在整个数组中查询 20：lower_bound(a + 1, a + 1 + 6, 20)，返回 a + 2 位置的指针；upper_bound(a + 1, a + 1 + 6, 20)，返回 a + 5 位置的指针；

然后两个指针相减，就是包含 20 这个数区间的长度。

1.3 代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 2e5 + 10;
LL a[N];

int main() {
    int n, c;
    cin >> n >> c;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    sort(a + 1, a + 1 + n);
    
    LL ret = 0;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        LL b = a[i] - c;
        // 在 [1, i] 范围内查找值为 b 的元素个数
        ret += upper_bound(a + 1, a + i + 1, b) - lower_bound(a + 1, a + 1 + i, b);
    }
    cout << ret << endl;
    return 0;
}

注：同时 STL 的使用范围很「局限」，查询「有序序列」的时候才有用，数组无序的时候就无法使用。但是我们的二分算法也能在「数组无序」的时候使用，只要有「二段性」即可。

二、烦恼的高考志愿

2.1 题目

链接：烦恼的高考志愿

2.2 算法原理

先把学校的录取分数「排序」，然后针对每一个学生成绩，在「录取分数」中二分出 ≥ b 的「第一个」位置 pos，那么差值最小的结果要么在 pos 位置，要么在位置 pos - 1，最后的不满意度求法就为：abs(a[pos] − b) 与 abs(a[pos − 1] − b) 的最小值。

注：细节问题 如果所有元素都大于 b 的时候，pos − 1 会在 0 下标的位置，有可能结果出错； • 如果所有元素都小于 pos 的时候，pos 会在 n 的位置，此时结果倒不会出错，但是我们要想到这个细节问题，这道题不出错不代表下一道题不出错。 解决方法：加上两个左右护法，结果就不会出错了

2.3 代码

// 烦恼的高考志愿
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 1e5 + 10;
LL a[N], b[N], m, n;

LL find(LL x) {
    int l = 1, r = m;
    while (l < r) {
        LL mid = (l + r) / 2;
        if (a[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}

int main() {
    cin >> m >> n;
    for (int i = 1; i <= m; i++) cin >> a[i];
    // 设置左护法
    a[0] = -1e7;
    sort(a + 1, a + 1 + m);
    
    LL ret = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> b[i];
        LL pos = find(b[i]);
        ret += min(abs(a[pos - 1] - b[i]), abs(a[pos] - b[i]));
    }
    cout << ret << endl;
    return 0;
}

总结

通过这两道题目，我们学会了利用排序与二分查找快速统计数对、寻找最优匹配，理解了边界处理与 STL 函数的正确使用。二分的本质是寻找二段性，代码简洁却考验思维。愿你在算法学习路上保持耐心与专注，每一次思考都在沉淀成长，坚持下去，终会遇见更优秀的自己。