二分算法实战：查找元素首尾位置与区间查询

引言

当问题的解具有二段性时，二分查找是高效的解决方案。核心思路是根据待查找区间的中点位置，分析答案会出现在哪一侧，随后舍弃一半区间，在剩余部分继续查找。

对于有序数组，STL 提供了便捷的辅助函数：

• lower_bound：返回大于等于目标值的最小元素的迭代器。
• upper_bound：返回大于目标值的最小元素的迭代器。

两者时间复杂度均为 O(log N)。理解其底层逻辑有助于处理更复杂的边界问题。

案例一：查找元素的第一个和最后一个位置

题目描述

给定一个按照升序排列的整数数组 nums 和一个目标值 target。找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。如果数组中不存在目标值，返回 [-1, -1]。

实现思路

我们需要分别找到左边界和右边界。这里有两个关键点需要注意：

1. 防止死循环：当区间缩小到只剩两个元素时，取整方式决定了收敛方向。
2. 合法性校验：二分结束后必须验证找到的位置是否真的等于目标值。

寻找左边界

使用标准的向下取整 (left + right) / 2。如果中间值大于等于目标值，说明目标可能在左侧或就是当前位置，将右指针移至 mid；否则左指针移至 mid + 1。

寻找右边界

为了避免死循环，需要向上取整 (left + right + 1) / 2。如果中间值小于等于目标值，说明目标可能在右侧或就是当前位置，将左指针移至 mid；否则右指针移至 mid - 1。

代码实现

class Solution {
public:
    vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {
        if (nums.empty()) return {-1, -1};

        // 二分查找左端点
        int left = 0, right = nums.size() - 1;
        while (left < right) {
            int mid = (left + right) / 2;
            if (nums[mid] >= target)
                right = mid;
            else
                left = mid + 1;
        }
        
         (nums[left] != target)  {, };
         retLeft = left;

        
        left = ; right = nums.() - ;
         (left < right) {
             mid = (left + right + ) / ;
             (nums[mid] <= target)
                left = mid;
            
                right = mid - ;
        }
        
         {retLeft, right};
    }
};