图论算法入门：深入理解 DFS、BFS 与树图遍历

剪枝操作：N 皇后问题

在搜索过程中，如果当前状态已经无法满足约束条件，可以提前终止该分支的搜索，这就是剪枝。以 N 皇后为例，需要判断列、正对角线、反对角线是否冲突。

• 列：直接用 col[i] 标记。
• 正对角线：满足 y = x + b，即 b = x - y。为避免负数索引，统一加上偏移量 n，变为 x - y + n。
• 反对角线：满足 y = -x + b，即 b = x + y。

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 10;
int n;
char g[N][N];
bool col[N], dg[N], udg[N]; // 列，正对角线，反对角线

void dfs(int u) {
    if (u == n) {
        for (int i = 0; i < n; i++) puts(g[i]);
        puts("");
        return;
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (!col[i] && !dg[u + i] && !udg[n - u + i]) {
            g[u][i] = 'Q';
            col[i] = dg[u + i] = udg[n + i - u] = true;
            dfs(u + 1);
            // 恢复现场
            g[u][i] = '.';
            col[i] = dg[u + i] = udg[n + i - u] = false;
        }
    }
}

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < n; j++) g[i][j] = '.';
    dfs(0);
    return 0;
}

广度优先搜索 (BFS)

BFS 则像一位眼观六路的观察者，它按层进行搜索，每次扩展离起点最近的未访问节点。从数据结构看，BFS 依赖队列。其空间复杂度通常为 O(2^h)，但优势在于天然具备最短路性质，适合求无权图的最短距离。

宽搜通常有固定框架：初始化队列，入队起点，循环取出队首元素并扩展邻居。若需还原路径，可额外维护一个 Prev 数组记录每个点的前驱节点。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 1e2 + 10;
typedef pair<int, int> PII;

int n, m;
int g[N][N];
int d[N][N]; // 记录距离
PII q[N * N], Prev[N][N]; // 队列和前驱记录

int bfs() {
    int hh = 0, tt = 0;
    q[0] = {0, 0};
    memset(d, -1, sizeof(d));
    d[0][0] = 0;

    int dx[4] = {-1, 0, 1, 0};
    int dy[4] = {0, 1, 0, -1};

    while (hh <= tt) {
        auto t = q[hh++];
        for (int i = 0; i < 4; i++) {
            int x = t.first + dx[i], y = t.second + dy[i];
            if (x >= 0 && x < n && y >= 0 && y < m && g[x][y] == 0 && d[x][y] == -1) {
                d[x][y] = d[t.first][t.second] + 1;
                Prev[x][y] = t; // 记录前驱
                q[++tt] = {x, y};
            }
        }
    }
    return d[n - 1][m - 1];
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < m; j++) cin >> g[i][j];
    cout << bfs();
    return 0;
}

树与图的存储及遍历

树是一种特殊的无环图。在实际编程中，我们通常不区分树和图的存储方式，统一处理为图。

图的存储

图分为有向图和无向图。无向图边是双向的，有向图则是单向的。存储方式主要有邻接矩阵和邻接表：

• 邻接矩阵：适合稠密图，但空间浪费大。
• 邻接表：适合稀疏图，常用静态链表实现，即链式前向星。

链式前向星利用三个数组 head, next, to (或 e) 来模拟链表，效率较高且易于实现。

树与图的遍历

基于上述存储结构，我们可以复用 DFS 和 BFS 模板对图进行遍历。例如，计算图中每个点到起点的距离，或寻找最小割点等。

以下示例展示了如何使用 BFS 计算图中节点 1 到其他所有节点的距离，并返回节点 n 的距离。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
int n, m, q[N], d[N];
int e[N], h[N], idx, ne[N];

// 添加边 a -> b
void add(int a, int b) {
    e[idx] = b;
    ne[idx] = h[a];
    h[a] = idx++;
}

int bfs() {
    int hh = 0, tt = 0;
    q[0] = 1;
    memset(d, -1, sizeof(d));
    d[1] = 0;

    while (hh <= tt) {
        int t = q[hh++];
        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            if (d[j] == -1) {
                d[j] = d[t] + 1;
                q[++tt] = j;
            }
        }
    }
    return d[n];
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    memset(h, -1, sizeof(h));
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        add(a, b);
    }
    cout << bfs();
    return 0;
}

掌握这些基础模板后，面对复杂的图论题目，只需根据具体需求调整状态定义和转移逻辑即可。