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机器人 DH 参数模型与正运动学 机器人 DH 参数模型的定义与坐标系建立方法，阐述了机器人正向运动学中关节空间与操作空间的映射关系。重点讲解了雅可比矩阵在微分运动中的作用，以及速度在不同坐标系和机器人关节间的传递规律，涵盖了转动关节与移动关节的速度变换公式推导。
萤火微光 发布于 2026/4/5 更新于 2026/4/13 1 DH 参数模型（Denavit-Hartenberg）
1.1 四个 DH 参数的定义
记基座为坐标系{0}，此后的每个可动关节依次记为关节 1,2,...,i,...；第 i 个关节与下一个 关节之间的连接部分称为连杆 i 。考虑关节 i 与 i-1（'关节 0'即为基座），首先标出各自的转轴（或平动轴），如果是基座则取一较方便的、符合实际几何关系的方向（一般为基座坐标系的 z 轴）为'轴'。
图 1 连杆与关节的位置关系
这两轴的关系一共有三种：异面 、相交 和平行 ，由此定义以下两个参数：
连杆长度
连杆扭角
需要注意的是，对于末端关节 n 而言，由于已经没有关节 n+1，末端关节的杆长
在作出各个连杆长度后，考虑相邻的两杆长
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需要注意的是，对于关节 0（基座）而言，由于没有更靠前的关节，因而
以上四个参数称为DH 参数 。一旦机器人的机械结构确定，那么每个关节的 4 个 DH 参数也随之确定，一般而言不会在机器人运动的过程中改变。可以说，用 DH 参数就可以抽象出机器人的根本结构，并且最'简明扼要'地描绘出机构的'骨架'、'轮廓'。4 个参数的定义及特点汇总如下：
参数名称 参数符号 参与定义的部件 具体定义 无定义的部位 意义 连杆长度 关节 i 与关节 i+1（向后定义） 轴距离 末端关节（有始无终） 结构参数 连杆扭角 轴夹角 关节距离 关节 i 与关节 i-1（向前定义） 杆距离 基座（关节 0）（有终无始） 移动关节变量 关节转角 杆夹角 转动关节变量
1.2 机器人坐标系的建立方法 确定 DH 参数后，还应当为各个关节建立起相应的坐标系，以便利用基本的坐标变换知识实现不同关节间物理量的变换。常用的基本坐标变换请参见相关数学基础资料。
在各个关节上标出转轴 或移动轴 ，并作为坐标系的z 轴 。z 轴的方向可任意选取，但一般应尽量保持一致。
根据已确定好的 x 轴和 z 轴，确定 y 轴。
x 轴 ，其正方向为从 i-1 指向 i。
对于平行的两轴 i-1 与 i，则公垂线可任意选取（对应第 2 步中
交点 作为系{i-1}的原点 ；
在选取 DH 参数坐标系时如果存在'争议'，事实上大可放心选取，因为不同的建系方式其实并不会影响计算的正确性，只要在每一种建系方式下 DH 参数的定义都自洽即可。
注意：基座{0}没有转轴或移动轴，因此其 z 轴不能根据轴位置来确定，应当根据实际几何位置的需求确定；末端{n}没有后续的关节（即没有有效的
可以看到，在这样一套与 DH 参数相匹配的坐标系中，连杆长度
x 轴 ，连杆扭角
x 轴 按右手定则旋转而成。关节距离
z 轴 ，关节转角
z 轴 按右手定则旋转而成。在有了上述的统一规范之后，用坐标变换来描述各机构的位置关系就变得容易了。
1.3 DH 参数表及相应坐标变换 假设机器人机构拥有 n 个关节，则每个关节（第 i 个）都拥有 4 个 DH 参数，因而一共定义有 4*n 个参数（关节 0 上应 +2 个参数，但关节 n 上又 -2 个参数）。将各个参数列在一张 (n+1) 行、4 列的表中，称为 DH 参数表：
0 none (or 0) none (or 0) 1 2 ... ... ... ... ... n none (or 0) none (or 0)
这张 DH 参数表就包含了一座机器人最核心的结构信息。当然还有另一种形式的 DH 参数表，只有 n 行，如表 3 所示，这种形式的 DH 参数表适合用于构建关节间的坐标变换 矩阵。
根据 DH 参数以及先前建立起的坐标系规则，根据坐标的相对变换关系（矩阵右乘）可推知从{i}到{i-1}的坐标齐次变换矩阵为：
由此，若需要将机器人末端坐标变换到基座，则总的变换矩阵为：
2 机器人正向运动学 机器人运动过程中的物理量可分为两类：关节变量 与广义/操作变量 ，由变量又分别构成了关节空间 和操作空间 。
**关节变量：**可驱动关节上能够随控制指令而改变的变量，包括转动关节的关节角度和移动关节的移动距离。当机构中有 n 个可动关节时，关节变量就有 n 个。
**广义/操作变量：**一般指机械臂末端或被研究的某点在实际工作需求中的位姿变量，例如空间位置（x,y,z）和姿态角度 (θ,φ,ψ)。由于三维空间中运动自由度的限制，广义/操作变量最多只有 6 个。
机器人运动学，实际上研究的就是关节空间与广义/操作空间之间的映射关系。由关节空间推知操作空间，即为正运动学 ；反之，由操作空间推知工作空间，即为逆运动学 。
此外，比关节空间更底层的还有驱动器空间 [3]，其作用是描述驱动装置是如何影响关节运动的，例如差速小车各轮速度与转角、位移之间的关系，关节舵机占空比大小与关节转角之间的关系等。不过驱动器空间与关节空间之间的解算关系求解起来相对容易，本文不展开叙述。
2.1 正运动学与雅可比矩阵 机器人正运动学将关节变量映射为操作变量，若记关节变量为
通常有 n≥m，因为 n<m 时总存在某些广义变量的运动是受限的（即缺少相应的自由度），这被称为欠驱动结构 。n=m 时，任意关节坐标与唯一的广义坐标对应，也就是说每一关节适配一个自由度；n>m 时，同一广义坐标可能对应不同的关节坐标，称为关节变量的冗余设计 。
一般而言，在有 DH 参数的情况下，依据 (1)(2) 两式可以很方便地推出末端位姿矩阵关于关节变量
奇异形位 。奇异形位意味着此时雅可比矩阵不可逆，方程 (5) 不存在唯一解；同时，必然存在某些广义变量能直接被其他广义变量表示（线性相关），即关节存在耦合关系、运动受限，2 个（甚至更多）关节变量会退化成一个关节变量。
除此之外，雅可比矩阵奇异时还可以这样理解：奇异形位处，需要关节变量的速度达到无穷大，才能同时使得某个广义变量获得期望的速度，这在现实中显然是不可能的。也就是说，关节变量失去了对某个广义变量独立控制的作用，相应的自由度已经丧失。
m>n 时，本就存在 (m-n) 个广义变量不受控；m<n 时，存在冗余的关节变量，即同一广义速度可能对应多个关节速度，这些冗余的解为绕过奇异位形提供了备选方案。这两种情况下，雅可比矩阵的逆是广义逆 （或称伪逆 ），即式 (7) 所示。
需要注意的是，雅可比矩阵不为常量，而是与当前的关节变量
3 机器人运动的速度 (5) 式揭示了机器人运动过程中关节空间与广义空间之间的速度关系。然而，在具体分析机器人各部位的运动情况时，通常还需要获知同一空间中不同坐标系之间的速度关系。以下将针对速度的坐标变换具体展开叙述。
3.1 速度在的坐标系间的变换
3.1.1 速度变换的一般形式
旋转运动 与平移运动 ，而与点 p 自身的运动无关；只有第二项才代表了点 p 自身的运动属性。
3.1.2 用角速度矢量表示坐标系的旋转运动
需要注意的是，角速度矢量不仅大小可能时变，方向也可能是时变的，因此角速度矢量对时间的直接积分一般没有实际意义。不过，在机器人系统中，由于转轴矢量一般是恒定的，变化的只有角速度大小，因此角速度大小的积分可用于求取刚体的姿态角度，即通用坐标变换，其中。
转轴过原点时 ，该点由于转动而具有的线速度为：
如果在当前的坐标系{N}内转轴不过原点，则应先取一个能够使转轴过原点的坐标系{M}，在{M}中重新计算得该点的位矢和角速度矢量之后，才能使用式 (11)。使用后，还应将转换结果重新变换回原坐标系{N}。
在表示坐标系{B}相对于系{A}的旋转运动时，使用带角标的角速度矢量
(12) 式实际上是提供了描述坐标系旋转运动的另一种方式。在实际应用时，可视情况选择左侧的导数描述形式或右侧的角速度矢量描述形式。
3.1.3 角速度矢量在不同坐标系之间的传递 角速度矢量本质上是一个三维矢量，在不同坐标系中的坐标形式遵循一般的坐标变换规则。不过，由于角速度矢量是自由矢量，不同起点的角速度矢量在同一坐标系内是可以相加的。现考虑在坐标系{A}中系{C}的角速度矢量，其中以{B}作为中间坐标系，则满足以下关系：
3.2 速度在机器人关节间的传递 接下来将以上通用理论运用到具体的机器人机构中：假设现有关节{i-1}与关节{i}，以及另一坐标系{0}，目的是通过{i-1}将{i}的速度变换至坐标系{0}。
3.2.1 转动关节向前传递 以{i-1}为中间坐标系，套用式 (13) 可得：
由于{i-1}与{i}是相邻关节，二者之间的关系较简单，因此有
初始位置重合，但不随{i}的转动 而发生变化的绝对坐标系，应注意区分
由于{i}是转动关节，坐标系{i}的原点在{i-1}看来只有转动而无平动，即
因此通过下式可将{i}系的线速度传递到{i-1}上，进而再传递至坐标系{0}：
原点 在{i-1}中的位置矢量，可由 DH 参数及 (1) 式确定：
3.2.2 移动关节向前传递 在移动关节中，{i}只有平动而无转动，因此在{i-1}看来
也就是说，{i}在{0}看来的转动速度完全只由作为中间坐标系的前一关节{i-1}决定。
3.2.3 小结
参考文献 [1] 蔡自兴，谢斌编著。机器人学 [M]. 清华大学出版社，2015.
[2] 杨洋，苏鹏，郑昱编著。机器人控制理论基础 [M]. 机械工业出版社，2021.
[3] 樊泽明等编著。机器人学基础 [M]. 机械工业出版社，2022.
[4] (日) 白井良明编著。机器人工程 [M]. 科学出版社，2001.
