机器人 DH 参数模型与正运动学

对于平行的两轴 i-1 与 i，则公垂线可任意选取（对应第 2 步中 $d_i$ 存在多种取值的情况），但一般应尽量选取能使 $d_i=0$ 的公垂线，之后再取与轴 i-1 的交点为原点。

对于不平行的两轴 i-1 与 i，取公垂线 $a_{i-1}$ 与轴 i-1 的交点作为系{i-1}的原点；

依据标出的轴线分别计算 $a_i$ 与 $\alpha_i$、$d_i$ 与 $\theta_i$。注意，如果存在平行的两轴，则此时 $d_i$ 可能存在多种取值，此时可暂时跳过 $d_i$ 的计算，继续进行后续步骤。

在选取 DH 参数坐标系时如果存在'争议'，事实上大可放心选取，因为不同的建系方式其实并不会影响计算的正确性，只要在每一种建系方式下 DH 参数的定义都自洽即可。

注意：基座{0}没有转轴或移动轴，因此其 z 轴不能根据轴位置来确定，应当根据实际几何位置的需求确定；末端{n}没有后续的关节（即没有有效的 $a_i$），因此其 x 轴不能根据 $a_i$ 来确定，也需要根据实际来确定。

可以看到，在这样一套与 DH 参数相匹配的坐标系中，连杆长度 $a_i$ 总是沿着坐标系{i}的x 轴，连杆扭角 $\alpha_i$ 总是绕坐标系{i}的x 轴按右手定则旋转而成。关节距离 $d_i$ 总是沿着坐标系{i}的z 轴，关节转角 $\theta_i$ 总是绕坐标系{i}的z 轴按右手定则旋转而成。在有了上述的统一规范之后，用坐标变换来描述各机构的位置关系就变得容易了。

DH 参数表及相应坐标变换

假设机器人机构拥有 n 个关节，则每个关节（第 i 个）都拥有 4 个 DH 参数，因而一共定义有 4*n 个参数（关节 0 上应 +2 个参数，但关节 n 上又 -2 个参数）。将各个参数列在一张 (n+1) 行、4 列的表中，称为 DH 参数表：

这张 DH 参数表就包含了一座机器人最核心的结构信息。当然还有另一种形式的 DH 参数表，只有 n 行，如表 3 所示，这种形式的 DH 参数表适合用于构建关节间的坐标变换矩阵。

根据 DH 参数以及先前建立起的坐标系规则，根据坐标的相对变换关系（矩阵右乘）可推知从{i}到{i-1}的坐标齐次变换矩阵为：

$$ ^{i-1}iT = \mathrm{Rot}(x,\alpha{i-1})\mathrm{Trans}(x,a_{i-1})\mathrm{Rot}(z,\theta_i) \mathrm{Trans}(x,d_i) $$

由此，若需要将机器人末端坐标变换到基座，则总的变换矩阵为：

$$ _n^0T = {_1^0T}{2^1T}\cdots{{n}^{n-1}T} $$

机器人正向运动学

机器人运动过程中的物理量可分为两类：关节变量与广义/操作变量，由变量又分别构成了关节空间和操作空间。

**关节变量：**可驱动关节上能够随控制指令而改变的变量，包括转动关节的关节角度和移动关节的移动距离。当机构中有 n 个可动关节时，关节变量就有 n 个。

**广义/操作变量：**一般指机械臂末端或被研究的某点在实际工作需求中的位姿变量，例如空间位置（x,y,z）和姿态角度 ($\theta,\phi,\psi$)。由于三维空间中运动自由度的限制，广义/操作变量最多只有 6 个。

机器人运动学，实际上研究的就是关节空间与广义/操作空间之间的映射关系。由关节空间推知操作空间，即为正运动学；反之，由操作空间推知工作空间，即为逆运动学。

此外，比关节空间更底层的还有驱动器空间，其作用是描述驱动装置是如何影响关节运动的，例如差速小车各轮速度与转角、位移之间的关系，关节舵机占空比大小与关节转角之间的关系等。不过驱动器空间与关节空间之间的解算关系求解起来相对容易，本文不展开叙述。

正运动学与雅可比矩阵

机器人正运动学将关节变量映射为操作变量，若记关节变量为 $\boldsymbol{q}:=[ q_1 \ q_2 \ \cdots \ q_n ]^\mathrm{T}$，操作变量为 $\boldsymbol{r}:=[ r_1 \ r_2 \ \cdots \ r_m ]^\mathrm{T},;m\le6$，则正运动学 $\boldsymbol{f}:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ 可表示为：

$$ \boldsymbol{r}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{q}) $$

通常有 n≥m，因为 n<m 时总存在某些广义变量的运动是受限的（即缺少相应的自由度），这被称为欠驱动结构。n=m 时，任意关节坐标与唯一的广义坐标对应，也就是说每一关节适配一个自由度；n>m 时，同一广义坐标可能对应不同的关节坐标，称为关节变量的冗余设计。

一般而言，在有 DH 参数的情况下，依据前述两式可以很方便地推出末端位姿矩阵关于关节变量 $d_i$ 或 $\theta_i$ 的关系，并依据选取的的位置描述方法（如笛卡尔坐标、求坐标等）和姿态描述方法（如欧拉角、RPY 等）对位姿矩阵进行变换，就可以获得正运动学关系。

考虑到正运动学关系是向量函数，假设 $\boldsymbol{f}(\cdot)=[ f_1(\cdot) \ f_2(\cdot) \ \cdots \ f_m(\cdot) ]^\mathrm{T}$，在确定了正运动学关系式的基础上，引入运动的微分，用以下**雅可比矩阵（Jacobian Matrix）**表示：

$$ \boldsymbol{J}(\boldsymbol{q}):=\dfrac{\partial \boldsymbol{f}(\boldsymbol{q})}{\partial \boldsymbol{q}^{\mathrm{T}}}=\begin{bmatrix} \dfrac{\partial f_1(\boldsymbol{q})}{\partial q_1}& \dfrac{\partial f_1(\boldsymbol{q})}{\partial q_2} &\cdots & \dfrac{\partial f_1(\boldsymbol{q})}{\partial q_n} \ \dfrac{\partial f_2(\boldsymbol{q})}{\partial q_1}& \dfrac{\partial f_2(\boldsymbol{q})}{\partial q_2} &\cdots & \dfrac{\partial f_2(\boldsymbol{q})}{\partial q_n}\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ \dfrac{\partial f_m(\boldsymbol{q})}{\partial q_1}& \dfrac{\partial f_m(\boldsymbol{q})}{\partial q_2} &\cdots & \dfrac{\partial f_m(\boldsymbol{q})}{\partial q_n} \end{bmatrix}_{m\times n} $$

该矩阵反映了瞬时的微小关节变量变化将会引起的广义变量的变化，也就是微分运动量：

$$ \mathrm{d}\boldsymbol{r}=\boldsymbol{J}(\boldsymbol{q})\mathrm{d}\boldsymbol{q} $$

进而可知两个空间之间瞬时速度的关系：

$$ \dot{\boldsymbol{r}}=\boldsymbol{J}(\boldsymbol{q})\dot{\boldsymbol{q}} $$

反之，也有

$$ \dot{\boldsymbol{q}}=\boldsymbol{J}(\boldsymbol{q})^{-1}\dot{\boldsymbol{r}};(m=n) $$

$$ \dot{\boldsymbol{q}}=\boldsymbol{J}(\boldsymbol{q})^{\dagger }\dot{\boldsymbol{r}};(m\neq n) $$

可见，雅可比矩阵是连接关节变量空间与广义变量空间之间的桥梁。

m=n 时，若雅可比矩阵奇异，即 $\det{[ \boldsymbol{J}(\boldsymbol{q}_s) ]}=0$，则称此时的关节点位 $\boldsymbol{q}_s$ 为奇异形位。奇异形位意味着此时雅可比矩阵不可逆，方程不存在唯一解；同时，必然存在某些广义变量能直接被其他广义变量表示（线性相关），即关节存在耦合关系、运动受限，2 个（甚至更多）关节变量会退化成一个关节变量。

除此之外，雅可比矩阵奇异时还可以这样理解：奇异形位处，需要关节变量的速度达到无穷大，才能同时使得某个广义变量获得期望的速度，这在现实中显然是不可能的。也就是说，关节变量失去了对某个广义变量独立控制的作用，相应的自由度已经丧失。

m>n 时，本就存在 (m-n) 个广义变量不受控；m<n 时，存在冗余的关节变量，即同一广义速度可能对应多个关节速度，这些冗余的解为绕过奇异位形提供了备选方案。这两种情况下，雅可比矩阵的逆是广义逆（或称伪逆）。

需要注意的是，雅可比矩阵不为常量，而是与当前的关节变量 $\boldsymbol{q}$ 有关。

机器人运动的速度

揭示了机器人运动过程中关节空间与广义空间之间的速度关系。然而，在具体分析机器人各部位的运动情况时，通常还需要获知同一空间中不同坐标系之间的速度关系。以下将针对速度的坐标变换具体展开叙述。

速度在的坐标系间的变换

速度变换的一般形式

现考虑{A}{B}两系与某一动点 $\boldsymbol{p}$，则根据坐标齐次变换的知识，可知该点在两系之间的位置坐标关系为

$$ ^A\boldsymbol{p}={^A_B\boldsymbol{R}};{^B\boldsymbol{p}}+{^A\boldsymbol{p}_{B_0}} $$

若要获得该点的瞬时速度，可在上式两边分别对时间求导，即

$$ ^A\boldsymbol{\dot{p}}=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left ({^A_B\boldsymbol{R}};{^B\boldsymbol{p}} \right )+{^A\boldsymbol{\dot{p}}_{B_0}} $$

进一步将导数项展开，可知{A}系中 p 点的速度由三部分构成：

$$ \underbrace{^A\boldsymbol{\dot{p}}}{\mathrm{motion;of;\boldsymbol{p};in;\left { A \right }}} =;;\underbrace{\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left ({^A_B\boldsymbol{R}}\right ){^B\boldsymbol{p}}}{\mathrm{rotation;of;\left { B \right }}}+ \underbrace{​{^A_B\boldsymbol{R}};{^B\boldsymbol{\dot{p}}}}{\mathrm{motion;of;\boldsymbol{p};in;\left { B \right }}}+\underbrace{​{^A\boldsymbol{\dot{p}}{B_0}}}_{\mathrm{translation;of;\left { B \right }}} $$

其中第一项和第三项是由坐标系之间的相对运动引起，分别表示{B}系相对于{A}系的旋转运动与平移运动，而与点 p 自身的运动无关；只有第二项才代表了点 p 自身的运动属性。

用角速度矢量表示坐标系的旋转运动

在式中，$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left ({^A_B\boldsymbol{R}}\right )$ 的物理意义实际上并不直观。为此，通常还使用角速度矢量来描述坐标系的旋转运动：

$$ \boldsymbol{\omega}\in\mathbb{R}^3,;\left | \boldsymbol{\omega} \right |=:\Omega $$

角速度矢量的物理意义是：以单位向量 $\boldsymbol{f}:=\dfrac{\boldsymbol{\omega}}{\left | \boldsymbol{\omega} \right |}$ 的某一平行线为轴，依据'右手定则'的方向，按角速度大小 $\Omega$ 旋转。

需要注意的是，角速度矢量不仅大小可能时变，方向也可能是时变的，因此角速度矢量对时间的直接积分一般没有实际意义。不过，在机器人系统中，由于转轴矢量一般是恒定的，变化的只有角速度大小，因此角速度大小的积分可用于求取刚体的姿态角度，即通用坐标变换。

若考虑某点的位矢 $\boldsymbol{r}$ 及其角速度矢量 $\boldsymbol{\omega}$，当转轴过原点时，该点由于转动而具有的线速度为：

$$ \boldsymbol{v}=\boldsymbol{\omega}\times \boldsymbol{r}=\left | \begin{matrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} &\boldsymbol{k} \ \omega_x & \omega_y &\omega_z \ r_x &r_y & r_z \end{matrix} \right | $$

如果在当前的坐标系{N}内转轴不过原点，则应先取一个能够使转轴过原点的坐标系{M}，在{M}中重新计算得该点的位矢和角速度矢量之后，才能使用式。使用后，还应将转换结果重新变换回原坐标系{N}。

在表示坐标系{B}相对于系{A}的旋转运动时，使用带角标的角速度矢量 $^A\boldsymbol{\omega}B$ 来表征。利用式，可得{B}内任意一点 ${^B\boldsymbol{p}}$ 因坐标系{B}的旋转而在{A}中具有的线速度为 ${^A\boldsymbol{\omega}{B}}\times\left ({^A_B\boldsymbol{R}};{^B\boldsymbol{p}} \right )$，因此有：

$$ \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left ({^A_B\boldsymbol{R}}\right ){^B\boldsymbol{p}}={^A\boldsymbol{\omega}_{B}}\times\left ({^A_B\boldsymbol{R}};{^B\boldsymbol{p}} \right ) $$

实际上是提供了描述坐标系旋转运动的另一种方式。在实际应用时，可视情况选择左侧的导数描述形式或右侧的角速度矢量描述形式。

角速度矢量在不同坐标系之间的传递

角速度矢量本质上是一个三维矢量，在不同坐标系中的坐标形式遵循一般的坐标变换规则。不过，由于角速度矢量是自由矢量，不同起点的角速度矢量在同一坐标系内是可以相加的。现考虑在坐标系{A}中系{C}的角速度矢量，其中以{B}作为中间坐标系，则满足以下关系：

$$ ^{A}\boldsymbol{\omega}C=\underbrace{​{^{A}\boldsymbol{\omega}}{B}}\mathrm{rotation;of;\left { B \right }}+\underbrace{​{^A_B\boldsymbol{R}};{^{B}\boldsymbol{\omega}}{C}}_\mathrm{rotation;of;\left { C \right };in;\left { B \right }} $$

该式可以这样理解：在{B}看来，{C}理所应当地拥有角速度 $^B\boldsymbol{\omega}C$；但是换到{A}的视角，所有{B}系中的坐标都应进行变换，因此有 ${^A_B\boldsymbol{R}};{^{B}\boldsymbol{\omega}}{C}$；与此同时，{B}在{A}还可能拥有自身的角速度 $^A\boldsymbol{\omega}_B$，这个角速度应当进一步叠加到{C}上，因此有上式。

速度在机器人关节间的传递

接下来将以上通用理论运用到具体的机器人机构中：假设现有关节{i-1}与关节{i}，以及另一坐标系{0}，目的是通过{i-1}将{i}的速度变换至坐标系{0}。

转动关节向前传递

首先讨论{i}是转动关节的情况。

1. 角速度的传递：

以{i-1}为中间坐标系，套用式可得：

$$ ^{0}\boldsymbol{\omega}i={^{0}\boldsymbol{\omega}}{i-1}+{^{0}{i-1}\boldsymbol{R}};{^{i-1}\boldsymbol{\omega}}{i} $$

由于{i-1}与{i}是相邻关节，二者之间的关系较简单，因此有

$$ ^{i-1}\boldsymbol{\omega}i={^{i-1}{i}\boldsymbol{R}};{^{i_a}\boldsymbol{\omega}}_{i} $$

需要说明的是，$\left { i_a \right }$ 表示一个与{i}初始位置重合，但不随{i}的转动而发生变化的绝对坐标系，应注意区分 ${^{i_a}\boldsymbol{\omega}}{i}$ 与 ${^{i}\boldsymbol{\omega}}{i}$（实际上 ${^{i}\boldsymbol{\omega}}_{i}\equiv \boldsymbol{0}$）。若定义：

$$ {^{i_a}\boldsymbol{\omega}}_{i}=\Omega_i\cdot{\hat{\boldsymbol{z}}}=\begin{bmatrix} 0& 0& \Omega_i \end{bmatrix}^\mathrm{T} $$

则最终的变换式应写作：

$$ ^{0}\boldsymbol{\omega}i={^{0}\boldsymbol{\omega}}{i-1}+\Omega_i\cdot{^{0}_{i}\boldsymbol{R}}{\hat{\boldsymbol{z}}} $$

其中，$\Omega_i=\dot{\theta}_i$ 是关节变量的速度。

2. 线速度的传递：

套用式可得：

$$ ^{0}\boldsymbol{\dot{p}}i={^{0}\boldsymbol{\dot{p}}}{i-1}+{^{0}{i-1}\boldsymbol{R}};{^{i-1}\boldsymbol{\dot{p}}}{i}+{^0\boldsymbol{\omega}{i-1}}\times\left ({^0{i-1}\boldsymbol{R}};{^{i-1}\boldsymbol{p}_i} \right ) $$

由于{i}是转动关节，坐标系{i}的原点在{i-1}看来只有转动而无平动，即 ${^{0}{i-1}\boldsymbol{R}};{^{i-1}\boldsymbol{\dot{p}}}{i}=\boldsymbol{0}$。

因此通过下式可将{i}系的线速度传递到{i-1}上，进而再传递至坐标系{0}：

$$ ^{0}\boldsymbol{\dot{p}}i={^{0}\boldsymbol{\dot{p}}}{i-1}+{^0\boldsymbol{\omega}{i-1}}\times\left ({^0{i-1}\boldsymbol{R}};{^{i-1}\boldsymbol{p}_i} \right ) $$

其中 $\boldsymbol{p}_i$ 是坐标系{i}的原点在{i-1}中的位置矢量，可由 DH 参数及式确定：

$$ \begin{bmatrix} {^{i-1}\boldsymbol{p}i}\ 1 \end{bmatrix}={{i}^{i-1}T}\cdot\left [ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right ]^\mathrm{T} $$

移动关节向前传递

在移动关节中，{i}只有平动而无转动，因此在{i-1}看来 ${^{i-1}\boldsymbol{\omega}}_{i}=\boldsymbol{0}$，故有：

$$ ^{0}\boldsymbol{\omega}i={^{0}\boldsymbol{\omega}}{i-1} $$

也就是说，{i}在{0}看来的转动速度完全只由作为中间坐标系的前一关节{i-1}决定。

而在考虑线速度时，在转动关节中为零的项 ${^{i-1}\boldsymbol{\dot{p}}}_{i}={^{i-1}_i\boldsymbol{R}};{^i\boldsymbol{\dot{p}}_i}$ 重新发挥了作用，其中 ${^i\boldsymbol{\dot{p}}_i}=v_i\cdot{^i\hat{\boldsymbol{z}}}=\begin{bmatrix} 0& 0& v_i \end{bmatrix}^\mathrm{T}$ 并且 $v_i=\dot{d}_i$ 是关节的控制量，进而可得线速度的传递公式为：

$$ ^{0}\boldsymbol{\dot{p}}i={^{0}\boldsymbol{\dot{p}}}{i-1}+v_i\cdot{^{0}{i}\boldsymbol{R}};{^i\hat{\boldsymbol{z}}}+{^0\boldsymbol{\omega}{i-1}}\times\left ({^0_{i-1}\boldsymbol{R}};{^{i-1}\boldsymbol{p}_i} \right ) $$

小结

综上所述，当关节{i}为转动关节时：

$$ \begin{cases} ^{0}\boldsymbol{\omega}i={^{0}\boldsymbol{\omega}}{i-1}+\Omega_i\cdot{^{0}{i}\boldsymbol{R}}{\hat{\boldsymbol{z}}} \ ^{0}\boldsymbol{\dot{p}}i={^{0}\boldsymbol{\dot{p}}}{i-1}+{^0\boldsymbol{\omega}{i-1}}\times\left ({^0_{i-1}\boldsymbol{R}};{^{i-1}\boldsymbol{p}_i} \right )\end{cases} $$

当关节{i-1}为移动关节时：

$$ \begin{cases}^{0}\boldsymbol{\omega}i={^{0}\boldsymbol{\omega}}{i-1} \ ^{0}\boldsymbol{\dot{p}}i={^{0}\boldsymbol{\dot{p}}}{i-1}+v_i\cdot{^{0}{i}\boldsymbol{R}}{\hat{\boldsymbol{z}}}+{^0\boldsymbol{\omega}{i-1}}\times\left ({^0_{i-1}\boldsymbol{R}};{^{i-1}\boldsymbol{p}_i} \right )\end{cases} $$

其中 $\begin{bmatrix} {^{i-1}\boldsymbol{p}i}\ 1 \end{bmatrix}={{i}^{i-1}T}\cdot\left [ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right ]^\mathrm{T}$。

至此本文内容结束。下篇将继续梳理机器人逆运动学方面的知识。

参考文献

[1] 蔡自兴，谢斌编著。机器人学 [M]. 清华大学出版社，2015. [2] 杨洋，苏鹏，郑昱编著。机器人控制理论基础 [M]. 机械工业出版社，2021. [3] 樊泽明等编著。机器人学基础 [M]. 机械工业出版社，2022. [4] (日) 白井良明编著。机器人工程 [M]. 科学出版社，2001.