基于 CasADi 的无人机非线性模型预测控制（NMPC）设计与仿真

3 基于 CasADi 的无人机 NMPC 控制器设计

3.1 无人机六自由度非线性动力学模型构建

3.1.1 坐标系定义

本文采用惯性坐标系（NED 坐标系，北 - 东 - 地）与机体坐标系（FRD 坐标系，前 - 右 - 下）构建无人机动力学模型。惯性坐标系用于描述无人机在空间中的绝对位置与姿态，机体坐标系用于描述无人机的相对运动与受力情况，通过姿态矩阵实现两坐标系间的转换。姿态矩阵由滚转角（φ）、俯仰角（θ）、偏航角（ψ）构成，基于欧拉角旋转顺序（Z-Y-X）推导得到。

3.1.2 动力学方程推导

根据牛顿第二定律与欧拉方程，分别推导无人机的平移动力学方程与旋转动力学方程。平移动力学方程描述无人机在惯性坐标系下的位置与速度变化，考虑重力、推力在惯性坐标系下的投影及空气阻力影响；旋转动力学方程描述无人机姿态角与角速度的变化，考虑升力力矩、阻尼力矩及执行器产生的控制力矩作用。

无人机的状态向量 X 定义为：X = [x, y, z, vₓ, vᵧ, v_z, φ, θ, ψ, p, q, r]ᵀ，其中 x, y, z 为惯性坐标系下的位置坐标，vₓ, vᵧ, v_z 为线速度，φ, θ, ψ 为姿态角，p, q, r 为机体坐标系下的角速度；控制输入向量 U 定义为：U = [T, τ_φ, τ_θ, τ_ψ]ᵀ，其中 T 为总推力，τ_φ, τ_θ, τ_ψ 分别为滚转、俯仰、偏航控制力矩。最终得到无人机非线性动力学方程为：Ẋ = f(X, U)，其中 f(·) 为非线性函数。

3.1.3 约束条件设定

结合无人机实际飞行特性，设定两类约束条件：状态约束与控制约束。状态约束包括位置边界（如飞行高度范围）、姿态角约束（如滚转角、俯仰角最大限值）、角速度约束；控制约束主要为执行器饱和约束，包括推力约束（T_min ≤ T ≤ T_max）与控制力矩约束（τ_φmin ≤ τ_φ ≤ τ_φmax，τ_θmin ≤ τ_θ ≤ τ_θmax，τ_ψmin ≤ τ_ψ ≤ τ_ψmax），避免执行器超出工作范围导致故障。

3.2 基于 CasADi 的 NMPC 优化问题构建

3.2.1 预测模型搭建

基于 CasADi 的符号化建模能力，将 3.1.2 节推导的无人机非线性动力学方程转化为 CasADi 可识别的符号模型。采用显式欧拉积分方法对连续时间动力学方程进行离散化处理，得到离散时间预测模型：Xₖ₊₁ = F(Xₖ, Uₖ)，其中 k 为当前时刻，Xₖ 为 k 时刻的状态向量，Uₖ 为 k 时刻的控制输入向量，F(·) 为离散化后的非线性函数，积分步长根据无人机动态响应特性与实时性需求设定。

3.2.2 目标函数设计

本文 NMPC 控制器的目标函数以轨迹跟踪误差最小化为核心，同时引入控制量平滑项，避免控制输入突变导致无人机姿态剧烈波动。目标函数采用二次型形式，在预测时域 N 内最小化以下性能指标：

J = Σₖ₌₀ⁿ⁻¹ [(Xₖ - X_refₖ)ᵀQ(Xₖ - X_refₖ) + (Uₖ - U_refₖ)ᵀR(Uₖ - U_refₖ)] + (Xₙ - X_refₙ)ᵀP(Xₙ - X_refₙ)

其中，X_refₖ 为 k 时刻的参考状态向量（由预设轨迹生成），U_refₖ 为参考控制输入向量，Q 为状态权重矩阵，R 为控制量权重矩阵，P 为终端状态权重矩阵。通过调整权重矩阵元素大小，平衡轨迹跟踪精度与控制输入平滑性，Q 矩阵元素越大，轨迹跟踪精度优先级越高；R 矩阵元素越大，控制输入平滑性优先级越高。

3.2.3 约束条件转化

将 3.1.3 节设定的状态约束与控制约束转化为 CasADi 优化问题的约束方程。状态约束在预测时域内逐时刻生效：X_min ≤ Xₖ ≤ X_max（k = 0, 1, ..., N）；控制约束同样逐时刻生效：U_min ≤ Uₖ ≤ U_max（k = 0, 1, ..., N-1），其中 X_min、X_max 分别为状态向量的下限与上限，U_min、U_max 分别为控制输入向量的下限与上限。通过 CasADi 的约束接口将上述不等式约束融入优化问题，确保优化过程满足无人机实际飞行限制。

3.3 优化求解与滚动控制策略

基于 CasADi 构建 NMPC 优化问题后，选择 IPOPT（Interior Point OPTimizer）求解器进行优化求解。IPOPT 是一款适用于大规模非线性规划问题的数值求解器，支持带不等式约束与等式约束的优化问题，与 CasADi 兼容性良好，能高效求解本文构建的二次型目标函数优化问题。

滚动控制策略设计如下：在每个控制周期 T_ctrl 内，首先通过状态观测器获取无人机当前状态 X₀，将其作为预测模型的初始状态；随后调用 CasADi 优化接口，求解预测时域 N 内的最优控制序列 U₀*, U₁*, ..., Uₙ₋₁*；仅将第一个控制量 U₀* 作用于无人机系统，进入下一控制周期后，更新系统状态，重复上述优化与控制过程。为提升实时性，采用 warm-start 策略，以上一周期的优化结果作为当前周期优化的初始值，减少求解器的迭代次数。

4 结论与展望

4.1 研究结论

本文围绕无人机非线性模型预测控制问题，开展了基于 CasADi 工具包的控制器设计与仿真研究，主要结论如下：

1. 构建的无人机六自由度非线性动力学模型能准确反映无人机的飞行特性，融入执行器饱和、状态边界等约束条件，贴合实际工程场景，为 NMPC 控制器设计提供了可靠的模型基础。
2. 基于 CasADi 实现了 NMPC 控制器的高效设计，通过符号化建模、自动微分与数值优化求解的结合，将无人机非线性预测控制问题转化为可高效求解的序列二次规划问题，滚动优化策略确保了控制的实时性与适应性。
3. 仿真实验表明，与传统 PID 控制策略相比，本文所提基于 CasADi 的 NMPC 策略在轨迹跟踪精度、姿态响应速度、抗扰动能力及约束适应性上均表现更优，能有效提升无人机复杂工况下的飞行稳定性与控制性能。

4.2 研究展望

本文的研究仍存在一定不足，后续可从以下方面进一步深化与拓展：

1. 考虑无人机模型参数摄动（如质量变化、空气动力学系数误差），引入自适应机制优化 NMPC 控制器的鲁棒性，提升控制器对模型不确定性的适应能力。
2. 结合硬件在环（HIL）仿真与实际飞行测试，将所提控制策略部署至无人机实物平台，验证其在实际飞行中的有效性与可靠性，解决仿真与工程实际的差异问题。
3. 优化 NMPC 的预测时域与控制周期参数，结合模型预测控制的快速求解算法（如显式 NMPC），进一步提升控制器的实时性，拓展其在高速无人机、多无人机协同控制中的应用场景。

参考文献

[1] 李永富。基于 MATLAB 混合仿真平台的智能预测控制及其应用研究 [D].河北工业大学. [2] 高鹏，刘浩然，郝晓辰，等。基于粒子群优化的混合模型预测控制研究 [J].机电工程，2011, 28(2):4. [3] 王鹏，李玉忍，梁波，等。基于非线性模型预测控制的飞机全电刹车控制 [J].西北工业大学学报，2015, 33(6):5.