第 7 章 k-均值算法：患者分群与精准医疗
在医疗领域，我们常常面临这样的问题：患者是否可以划分为不同的亚型？不同亚型是否有不同的疾病进展模式或治疗反应？这些问题属于无监督学习的范畴。k-均值（k-means）聚类算法是最经典、最常用的无监督学习算法之一，它能够将数据划分为 k 个簇，使得同一簇内的样本高度相似，不同簇间的样本差异显著。本章将从算法原理出发，深入解析 k-均值在医疗场景中的应用，并通过实战案例展示如何利用 k-均值发现慢性病患者的潜在亚型，为精准医疗提供依据。
7.1 算法原理
7.1.1 聚类问题概述
聚类是一种无监督学习任务，目标是将数据集中的样本划分为若干个组（簇），使得同一组内的样本尽可能相似，不同组间的样本尽可能不同。与分类不同，聚类不依赖于预先标记的类别，而是从数据本身发现结构。
7.1.2 k-均值算法的核心思想
k-均值算法试图将 n 个样本划分到 k 个簇中，使得每个样本到其所属簇中心的距离平方和最小。簇中心是簇内所有样本的均值（因此得名'k-均值'）。
设数据集为 $X = {x^{(1)}, x^{(2)}, …, x^{(n)}}$，每个样本为 p 维向量。算法将样本划分到 k 个簇 $C = {C_1, C_2, …, C_k}$，目标是极小化目标函数（惯性，inertia）：
$$ J = \sum_{j=1}^{k} \sum_{x \in C_j} | x - \mu_j |^2 $$
其中 $\mu_j$ 是簇 $C_j$ 的中心（均值向量）。
7.1.3 算法步骤
k-均值算法通过迭代优化实现上述目标，具体流程如下：
- 初始化：随机选择 k 个样本作为初始簇中心。
- 分配：计算每个样本到各簇中心的距离（通常为欧氏距离），将样本分配到距离最近的簇中心。
- 更新：对于每个簇，重新计算该簇内所有样本的均值，作为新的簇中心。
- 重复：重复步骤 2 和 3，直到簇中心不再发生显著变化（或达到最大迭代次数）。
算法收敛时，样本分配和簇中心将不再改变。
7.1.4 距离度量
k-均值通常使用欧氏距离，但理论上可使用其他距离度量。需要注意的是，距离度量的选择会影响聚类结果，应根据数据特点选择。对于医疗数据，常混合数值型和类别型特征，此时可能需要将类别变量进行独热编码，或使用专门的距离度量（如 Gower 距离），但 k-均值对类别型特征处理不佳，通常需先将类别变量数值化或使用其他聚类算法（如 k-prototypes）。
7.1.5 k 值的选择
k 值（簇数）是 k-均值最重要的超参数。常见的选择方法有：
1. 肘部法则（Elbow Method）
计算不同 k 值下的目标函数值（惯性），绘制曲线。随着 k 增加，惯性递减，但当 k 接近真实簇数时，惯性下降速度减缓，曲线出现'肘部'。肘部对应的 k 值为较优选择。
2. 轮廓系数（Silhouette Coefficient）
轮廓系数结合了簇内紧密度和簇间分离度。对于每个样本 i，计算：
- a(i)：样本 i 到同簇其他样本的平均距离（簇内不相似度）。
- b(i)：样本 i 到其他簇样本的平均距离的最小值（簇间不相似度）。
样本 i 的轮廓系数为：
$$ s(i) = \frac{b(i) - a(i)}{\max{a(i), b(i)}} $$
s(i) 取值范围 [-1,1]，越接近 1 表示聚类效果越好。整体轮廓系数是所有样本的平均值。
3. Calinski-Harabasz 指数
基于簇间离差矩阵与簇内离差矩阵的比值，越大表示聚类效果越好。
4. 领域知识
在某些医疗应用中，k 值可能由临床意义决定，例如已知疾病有 3 种亚型，可设 k=3。
