钢条切割与饼干分发算法设计详解

引言

本文探讨钢条切割与饼干分发两个经典算法问题，展示动态规划与贪心算法的应用。

1. 钢条切割

1.1 题目描述

某公司的主营业务是切割整段钢条并出售，切割钢条的成本和损耗忽略不计。

该公司现有以下长度的钢条：

钢条长度/米	10	12	15
成本/百元	10	12	15

已知不同长度的钢条的出售价格：

钢条长度/米	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
售价/百元	1	5	8	9	10	17	17	20	24	24

1. 假如你是该公司的工程师，试确定每条钢条的切割方式使盈利最大。
2. 经过技术攻关，公司掌握了将钢条焊接的方法，且每次焊接所需成本为 1 百元，试确定钢条的焊接或/和切割方式使盈利最大。

1.2 算法设计 (第一部分：不考虑焊接)

采用动态规划法。dp[i] 表示长度为 i 米钢条的最大收益。状态转移方程：

dp[i] = max(price[i], dp[i-j] + dp[j]) (1 ≤ j ≤ i)

其中 price[i] 为长度为 i 米钢条的售价。

1.3 伪代码实现 (第一部分：不考虑焊接)

function max_profit_no_weld(prices, n):
    dp = array of size n+1, initialized to 0
    for i from 1 to n:
        max_p = prices[i]
        for j from 1 to i:
            max_p = max(max_p, dp[i-j] + dp[j])
        dp[i] = max_p
    return dp[n]

1.4 算法设计 (第二部分：考虑焊接)

仍然采用动态规划。dp[i] 表示长度为 i 米钢条的最大收益，考虑焊接成本。状态转移方程更加复杂，需要考虑所有可能的切割和焊接组合：

dp[i] = max(price[i], max(dp[j] + dp[i-j] - 1, dp[j] + price[i-j] - 1, price[j] + dp[i-j] - 1)) (1 ≤ j ≤ i/2)

1.5 伪代码实现 (第二部分：考虑焊接)

function max_profit_weld(prices, n):
    dp = array of size n+1, initialized to -infinity
    dp[0] = 0
    for i from 1 to n:
        dp[i] = prices[i]
        for j from 1 to i/2:
            dp[i] = max(dp[i], dp[j] + dp[i-j] - 1)
            dp[i] = max(dp[i], dp[j] + prices[i-j] - 1)
            dp[i] = max(dp[i], prices[j] + dp[i-j] - 1)
    return dp[n]