前缀和算法：和为 k 的子数组与和可被 k 整除的子数组

给定一个整数数组 A，返回其中元素之和可被 K 整除的非空连续子数组的数目。

题目示例：

输入：A = [4,5,0,-2,-3,1], K = 5 输出：7 解释：有 7 个子数组满足条件。

算法原理（前缀和 + 哈希）：

前置知识补充：

同余定理：

如果 (a - b) % n == 0，那么我们可以得到一个结论：a % n == b % n。用文字叙述就是，如果两个数相减的差能被 n 整除，那么这两个数对 n 取模的结果相同。

例如：(26 - 2) % 12 == 0，那么 26 % 12 == 2 % 12 == 2。

负数取模问题：

• C++ 中关于负数的取模运算，结果是「把负数当成正数，取模之后的结果加上一个负号」。例如：-1 % 3 = -(1 % 3) = -1
• 因为有负数，为了防止发生「出现负数」的结果，以 (a % n + n) % n 的形式输出保证为正。例如：-1 % 3 = (-1 % 3 + 3) % 3 = 2

思路：

与上道题思路一样。 设 i 为数组中的任意位置，用 sum[i] 表示 [0, i] 区间内所有元素的和。

• 想知道有多少个「以 i 为结尾的可被 k 整除的子数组」，就要找到有多少个起始位置为 x1, x2, x3... 使得 [x, i] 区间内的所有元素的和可被 k 整除
• 设【0，x-1】区间内所有元素之和等于 a，【0，i】区间内所有元素的和等于 b，可得（b - a）% k == 0
• 由同余定理可得，【0，x-1】区间与【0，i】区间内的前缀和同余。于是问题就变成：找到在【0，i-1】区间内，有多少前缀和的余数等于 sum[i] % k 的即可

我们不用真的初始化一个前缀和数组，因为我们只关心在 i 位置之前，有多少个前缀和等于 sum[i] % k。但是这个我们需要处理一下，确保不会为负数。因此，我们仅需用一个哈希表，一边求当前位置的前缀和，一边存下之前每一种前缀和出现的次数。

前缀和解法代码（C++）：

class Solution {
public:
    int subarraysDivByK(vector<int>& nums, int k) {
        unordered_map<int,int> hash;
        hash[0%k]=1;//0 这个数的余数
        int sum,ret=0;
        for(auto x:nums) {
            sum+=x;//算出当前位置的前缀和
            int r=(sum%k+k)%k;
            if(hash.count(r)) ret+=hash[r];
            hash[r]++;
        }
        return ret;
    }
};

**总结：**引入同余定理处理负数取模问题，同样采用哈希表优化查询效率，通过维护前缀和哈希表，将时间复杂度优化至 O(n)，展示了前缀和技巧在子数组统计问题中的高效应用。