前缀和算法实战：和为 K 的子数组与和可被 K 整除的子数组

// Java 写法
class Solution {
    public int subarraySum(int[] nums, int k) {
        Map<Integer, Integer> hash = new HashMap<>();
        hash.put(0, 1);
        int sum = 0, ret = 0;
        for (int x : nums) {
            sum += x; // 计算当前位置的前缀和
            ret += hash.getOrDefault(sum - k, 0); // 统计结果
            hash.put(sum, hash.getOrDefault(sum, 0) + 1); // 把当前的前缀和丢到哈希表里面
        }
        return ret;
    }
}

时间复杂度：O(n)，空间复杂度：O(n)。

030 和可被 K 整除的子数组

力扣链接： 974. 和可被 K 整除的子数组

题目描述：

给定一个整数数组 nums 和一个整数 k，返回该数组中和可被 k 整除的非空连续子数组的个数。

2.1 解法一：暴力枚举

暴力解法就是枚举出所有的子数组的和，这里不再赘述。

2.2 解法二：前缀和（余数）存在哈希表中

2.2.1 补充知识

2.2.1.1 同余定理

如果 (a - b) % n == 0，那么我们可以得到一个结论：a % n == b % n。用文字叙述就是，如果两个数相减的差能被 n 整除，那么这两个数对 n 取模的结果相同。

例如：(26 - 2) % 12 == 0，那么 26 % 12 == 2 % 12 == 2。

2.2.1.2 C++ 中负数取模的结果及修正

（1）C++ 中关于负数的取模运算，结果是【把负数当成正数，取模之后的结果加上一个负号】。

例如：-1 % 3 = -1

（2）因为有负数，为了防止发生出现负数的结果，以 (a % n + n) % n 的形式输出保证为正。

例如：-1 % 3 = (-1 % 3 + 3) % 3 = 2

2.2.2 算法思路

思路与「560. 和为 K 的子数组」这道题的思路相似。

还是用这张图——

设 sum[i] 表示 [0, i] 区间内所有元素的和。

1. 想知道有多少个「以 i 为结尾的可被 k 整除的子数组」，就要找到有多少个起始位置 x，使得 [x, i] 区间内的所有元素的和可被 k 整除。
2. 设 [0, x - 1] 区间内所有元素之和等于 a，[0, i] 区间内所有元素的和等于 b，可得 (b - a) % k == 0。
3. 由同余定理可得，[0, x - 1] 区间与 [0, i] 区间内的前缀和同余。于是问题就变成——找到在 [0, i - 1] 区间内，有多少前缀和的余数等于 sum[i] % k 的即可。

我们不用真的初始化一个前缀和数组，因为我们只关心在 i 位置之前，有多少个前缀和等于 sum[i] - k。因此，仅需用一个哈希表，一边求当前位置的前缀和，一边存下之前每一种前缀和出现的次数。

2.3 算法实现

2.3.1 C++ 实现

class Solution {
public:
    int subarraysDivByK(vector<int>& nums, int k) {
        unordered_map<int, int> hash; // 统计前缀和出现的次数
        hash[0] = 1; // 处理细节：0 % k 还是 0，所以这里存的是 0 这个数的余数
        int sum = 0, ret = 0;
        for(auto x : nums) {
            sum += x; // 算出当前位置的前缀和
            // 求出修正后的余数
            int r = (sum % k + k) % k;
            if(hash.count(r)) ret += hash[r]; // 统计结果
            hash[r]++; // 继续遍历
        }
        return ret;
    }
};

时间复杂度：O(n)，空间复杂度：O(n)。

2.3.2 Java 实现

// Java 写法
class Solution {
    public int subarraysDivByK(int[] nums, int k) {
        Map<Integer, Integer> hash = new HashMap<>();
        hash.put(0 % k, 1);
        int sum = 0, ret = 0;
        for (int x : nums) {
            sum += x; // 计算当前位置的前缀和
            int r = (sum % k + k) % k;
            ret += hash.getOrDefault(r, 0); // 统计结果
            hash.put(r, hash.getOrDefault(r, 0) + 1);
        }
        return ret;
    }
}

时间复杂度：O(n)，空间复杂度：O(n)。