置信传播（Belief Propagation, BP）译码算法（公式推导+代码，超详细）

Ne0inhk

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置信传播（Belief Propagation, BP）译码算法（公式推导+代码，超详细）

一、理论基础

此部分参考资料：

LDPC码（一种前向纠错码）：基础 & 译码算法 - 知乎

1.1 概述

置信传播（Belief Propagation，BP）算法，在编码理论中又常被称为和积算法（Sum-Product Algorithm，SPA），是一种在概率图模型上进行统计推断的消息传递机制，其核心思想是通过在Tanner图的变量节点（VN）与校验节点（CN）之间迭代传递置信度信息，逐步逼近最大后验概率（MAP）。

BP算法由朱迪亚·珀尔（Judea Pearl）于1982年提出，最初用于贝叶斯网络和马尔可夫随机场的概率推断，后被引入通信领域并发展为LDPC码的核心译码方法。但BP译码算法不是只能用于LDPC码，理论上可以用于任何拥有因子图（Factor Graph）表示的码型，包括所有的线性分组码，甚至卷积码（Turbo码）。

Turbo码：Turbo码的迭代译码本质上就是在两个分量码的因子图之间交换信息，属于BP算法的一个特例。Polar码（极化码）：Polar码最经典的就是SC（串行消除）和SCL（串行消除列表）译码，但Polar码完全可以使用BP算法译码。Polar码的生成矩阵GN具有递归结构，可以展开成一个递归蝶形因子图，在此图上运行BP算法不仅可以实现并行译码（降低时延），还可以通过Soft-IC等手段进一步提升性能。PAC码（极化调整卷积码）：PAC码在Polar码的极化编码之前加入了卷积预变换，虽然无法再用递归蝶形因子图完整表示整个过程，但其依然有确定的校验矩阵，理论上也可以使用BP译码算法，只是其校验矩阵的密度非常高，直接运行BP算法的性能会很差。卷积码：经典的BCJR算法其实就是定义在无环图（Trellis图/网格图）上的BP算法。RA码：这是一类结构化的类LDPC码，天然适合BP译码乘积码：常用于光通信和存储，其迭代硬判决或软判决译码也是BP思想的体现。

1.2 图论基础与结构化表示

前面提到，BP算法是一个通用的框架，理论上适用于所有可以用因子图表示的概率模型。在线性分组码中，通过校验矩阵H构建的Tanner图就是因子图的一个特例。下面以LDPC码为例。

1.2.1 线性分组码的矩阵定义

LDPC码属于线性分组码的范畴。一个 (n,k) 线性分组码将 k 比特的信息序列映射为 n 比特的码字序列，从而引入 n-k 个冗余比特用于纠错。该码由一个 m×n 的奇偶校验矩阵H唯一确定，其中，m=n-k 。对于任意合法码字 x = [x1,x2,...,xn]，必须满足正交约束：

H\cdot x^T=0\:(mod\:2)

这意味着码字中的比特必须满足 m 个线性校验方程。LDPC码的核心特征在于校验矩阵H是“低密度”的，即矩阵中绝大多数元素为“0”，只有极少数元素为“1”。通常，每行和每列中“1”的数量远小于 n 和 m 。这种稀疏性保证了BP算法的计算复杂度随码长线性增长（O(n)），而非指数增长。

1.2.2 Tanner图：二部图模型

1981年，Tanner提出用二部图（Bipartite Graph）来表示奇偶校验矩阵，这种图后来被称为Tanner图。Tanner图由两个不同的节点集合组成：变量节点（Variable Node, VN）和校验节点（Check Node, CN），这些节点通过边相互连接，以图形化方式展示了校验矩阵H的结构。因此，Tanner图实际上就是校验矩阵的可视化表示，是定义BP算法消息传递路径的拓扑基础。

例：给定一个码长为7，信息位长度为4的LDPC码的校验矩阵H

   

H = \begin{bmatrix} 1&0&0&1&1&1&0\\ 0&1&0&0&1&0&1\\ 0&0&1&0&0&1&1 \end{bmatrix}
H_{ij}=1

 表示第 j 个变量节点和第 i 个校验节点相连。

H

 的每一列对应一个变量节点。

H

 的每一行对应一个校验节点（也可以说对应一个校验方程）。

根据该校验矩阵就可以画出对应的可视化Tanner图：

只要建立了这个Tanner图，就可以在上面跑BP算法：变量节点向校验节点发信息，校验节点处理后再发回变量节点，如此迭代。

关于Tanner图还有几个比较重要的定义：

（1）边

Tanner图中的边仅连接变量节点和校验节点，不会连接同类节点。当且仅当校验矩阵元素 

h_{ij}=1

时，校验节点 

c_j

 与变量节点 

v_i

 之间存在一条边。

（2）度分布（Degree Distribution）

校验节点度（

d_c

）：与校验节点相连的边的数量，等于 

H

 对应行的汉明重。它表示该方程约束了多少个比特。

变量节点度（

d_v

）：与变量节点相连的边的数量，等于 

H

 对应列的汉明重。它表示该比特参与了多少个校验方程。

如果图中所有变量节点的度相同，且所有校验节点的度也相同，则该码称为规则LDPC码。如果度数不统一，则称为非规则LDPC码。研究表明，设计良好的非规则LDPC码通常具有比规则码更优异的瀑布区性能，因为高度数的变量节点能更早收敛，从而辅助低度数节点译码。

（2）环（Cycles）与围长（Girth）

  • 环：从一个节点出发，经过若干条不同的边回到该节点的闭合路径。环的长度是指路径上边的数量。由于二部图的性质，环长必然是偶数（4、6、8...）。
  • 围长：图中长度最短的环的长度。

在无环图（树）中，BP算法可以精确收敛到最大后验概率。然而，为了获得良好的距离特性，实用的LDPC码必然包含环。短环（特别是长为4的环）会破坏BP算法的独立性假设，导致信息错误在局部循环并被放大，引发译码失效或震荡。因此构造LDPC码的一个重要目标就是消除短环，最大化围长。

1.3 消息传递机制

在开始公式推导之前，先回答两个问题更有利于对后面公式的理解：在Tanner图上传播的消息具体是什么含义？为什么BP算法是有效的？

（1）传播消息的具体含义

在实际工程实现中，为了简化乘法运算为加法运算，通常在对数域进行计算，传播的消息是对数似然比（Log-Likelihood Ratio, LLR），定义为：

L(x)=ln \frac{P(x_i=0|y_i)}{P(x_i=1|y_i)}
  • 如果 L(x) > 0，表示该比特更倾向为0。
  • 如果 L(x) < 0，表示该比特更倾向为1。
  • | L(x) | 的大小表示置信度（绝对值越大，越确定）。

A. 变量节点 -> 校验节点（v -> c）

  • 含义：根据信道给我的初始信息，以及除了你（该校验节点c）之外的其他校验节点告诉我的信息，我认为我自己是0或1的可能性是多少。

B. 校验节点 -> 变量节点（c -> v）

  • 含义：为了满足我的校验方程（即所有连接到我的变量模2和必须为0），根据除了你（该变量节点v）之外的其他变量节点目前的状态，我推断你应该取值的可能性是多少。
  • 两个维度
    • 方向（逻辑推断）：如果其他变量节点的模2和是0（或1），你（该变量节点v）也应该是0（或1），才能满足整个校验方程的模2和为0，决定了LLR的正负号。
    • 强度（置信度）：表示我推断你（该变量节点v）是0或1的这个消息有多确定，决定了LLR绝对值的大小。校验节点传出的置信度受限于与之相连的绝对值最小（最不可靠）的那个变量节点，这里用“木桶效应”比较好理解，因为只要有一个变量节点的消息不靠谱（例如L(x)=0.01），那么整个推断就是不靠谱的。 

（2）BP算法的有效性

  • 局部交互达成全局共识：BP译码的核心思想是将一个复杂的全局概率计算问题，分解为无数个简单的局部计算问题。每一个节点并不需要知道整个图的结构，它只与它的“邻居”进行通信。变量节点负责收集关于该比特概率的信息，校验节点负责检查这些概率是否符合奇偶校验约束。这种通信是双向迭代的。随着迭代次数增加，信息在图中扩散，原本不确定的节点（受噪声严重干扰的比特）会通过其他节点的强有力信息逐渐被纠正，最终整个网络达成共识。
  • 利用了稀疏性：BP算法之所以能成为LDPC码的核心译码方法，就是因为LDPC码的校验矩阵是非常稀疏的，这意味着每个变量只参与少数几个校验，每个校验只关联少数几个变量，围长大，消息能够有效传播，且这种稀疏性保证了复杂度随码长呈线性增长（而非最大似然译码的指数级增长）。
  • 外信息的交换：这是BP算法的精髓，当节点A向节点B传递消息时，不会把B刚才告诉的它的消息再传回B，这防止了信息在两个节点之间死循环，保证了每次迭代传递的都是“新鲜”的独立证据。

总而言之，BP译码算法可以看成是一个迭代的“投票”过程。每个比特最初只有信道的模糊观测，通过不断的变量节点（汇总意见）和校验节点（施加约束）之间的信息传播，消除不确定性，知道所有校验方程都被满足。

二、详细公式推导

此部分参考资料：

LDPC译码原理（公式推导）及其matlab代码实现（超详细）-ZEEKLOG博客

高斯白噪声信道下对数似然比的推导--- QPSK+BPSK - 哔哩哔哩

高斯白噪声信道下后验概率的计算 - 哔哩哔哩

LDPC码最小和译码优化及调度算法的研究 - 中国知网

基于深度学习的LDPC码译码算法研究 - 中国知网

卫星通信中LDPC译码器的研究与实现 - 中国知网

2.1 引理1

后面的推导需要用到引理1：给定一个长为

m

 的相互独立的二进制序列 

a = [a_1,a_2,...,a_m]

 ，第

h

 个比特为 1 的概率为

P(a_h)=p_h

 ，则二进制序列 a 中包含偶数个 1 的概率为：

 

\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\prod^m_{h=1}(1-2p_h)

 

包含奇数个 1 的概率为：

\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\prod^m_{h=1}(1-2p_h)

证明如下：

采用构造函数和数学归纳法进行证明。

首先构造关于

t

 的

m

 次多项式：

f(t)=\prod^m_{h=1}(1-p_h+p_ht)

通过数学归纳法证明 

t^i

 的系数为序列中包含

i

 个 1 的概率。

（1）当 

m=1

 时：

f(t)=1-p_1+p_1t

显然 

t^1

 的系数 

p_1

 为序列中包含 1 个 1 的概率，

t^0

的系数 

1-p_1

 为序列中包含 0 个 1 的概率。

（2）假设当 

m=k

 时，

t

 的 

k

 次多项式为：

f(t)=\prod^k_{h=1}(1-p_h+p_ht)=\sum^k_{h=0}B_ht^h
t^i

的系数 

B_i

 为其序列中包含 

i

 个 1 的概率。

（3）当 

m=k+1

 时，

t

 的 

k+1

 次多项式 为：

f(t)=\prod^{k+1}_{h=1}(1-p_h+p_ht)\\ \\=(1-p_{k+1}+p_{k+1}t)\prod^k_{h=1}(1-p_h+p_ht)\\ \\=(1-p_{k+1}+p_{k+1}t)\sum^k_{h=0}B_ht^h

由上式可求得 

t^i

 的系数为 

(1-p_{k+1})B_i+p_{k+1}B_{i-1}

，其中：

1-p_{k+1}

 表示第 

k+1

 个比特为 0 的概率；

B_i

 表示 

m = k

 的序列中有 

i

 个 1 的概率；

p_{k+1}

 表示第 

k+1

 个比特为 1 的概率；

B_{i-1}

 表示 

m=k

 的序列中有 

i-1

 个 1 的概率；

因此，当 

m=k+1

 时，

t^i

 的系数 

(1-p_{k+1})B_i+p_{k+1}B_{i-1}

 也表示序列中包含 

i

 个 1 的概率。综上，通过数学归纳法证明了 

t^i

 的系数为序列中包含

i

 个 1 的概率。

在此基础上，再求序列中包含偶数个 1 的概率。

即需要求 m 次多项式中所有偶数次幂项的系数之和 

B_0+B_2+B_4+...

 ，为此可以再构造一个函数 

g(t)=\prod^m_{h=1}(1-p_h-p_ht)

 ，则 

f(t)+g(t)

 会消掉所有奇数次幂项，得到所有偶数次幂项和的两倍：

f(t)+g(t)=2(B_0t^0+B_2t^2+B_4t^4+...)

再令 

t=1

 ，得到序列中包含偶数个 1 的概率 

P_{even}

 ：

P_{even}=B_0+B_2+B_4+...\\ \\=\frac{f(1)+g(1)}{2}\\ \\=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\prod^m_{h=1}(1-2p_h)

则序列中包含奇数个 1 的概率 

P_{odd}

 ：

P_{odd}=1-P_{even}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\prod^m_{h=1}(1-2p_h)

2.2 前置知识

在介绍具体的译码算法之前还有一点前置知识，需要先搞清楚整个通信链路。发送端的原始编码码字为

x

 ，经过调制得到发送信号

s

 ，再通过AWGN信道传输（引入高斯白噪声 

n

 ），接收端收到的信号

y=s+n

 ，其中，噪声 

n

 服从高斯分布。译码就是通过接收信号

y

 推断原始编码码字

x

 的过程，推断的依据为原始编码码字 

x

 是满足校验矩阵的，如果译码结果 

\hat x

 也满足相同的校验矩阵（即

H\cdot \hat x^T=0

 ），我们就认为找到了最可能的原始编码码字。

2.3 概率域BP译码算法

符号说明：

两个概念：

  • 外信息原则：不将节点A告诉我的信息回传给A，以防止信息自我增强（正反馈）导致的过早收敛和偏差。

后验概率：通信系统中，我们关心的是在收到信号 y 的情况下，判断发送方发送的比特是 0 或 1 的概率，可以表示成 

p(b=0|y)

 和 

p(b=1|y)

 ，一般被称为后验概率。

（1）初始化

对于每个变量节点

v_i

 ，根据信道接收值

y_i

 计算初始后验概率，这是算法的输入，代表了仅由信道观测提供的信息，也是变量节点传递给校验节点的初始信息：

\begin{cases}q^{(0)}_{ij}(0)=P_i(0)=p(x_i=0|y_i)\\q^{(0)}_{ij}(1)=P_i(1)=p(x_i=1|y_i)\end{cases}

（2）校验节点更新（校验节点 

c_j

 传递给变量节点 

v_i

 的外信息）

校验节点 

c_j

 的任务是根据连接到它的变量节点（除变量节点 

v_i

 ）的信息，计算它对变量节点 

v_i

 的约束意见：

\begin{cases}r_{ji}^{(l)}(0)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \displaystyle\prod_{i'\in V(j)\diagdown i}(1-2q_{i'j}^{(l-1)}(1)) \\ \\r_{ji}^{(l)}(1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \displaystyle\prod_{i'\in V(j)\diagdown i}(1-2q_{i'j}^{(l-1)}(1))\end{cases}

理解含义：

r^{(l)}_{ji}(0)

 表示在第 

l

 次迭代中，校验节点 

c_j

 推断变量节点 

v_i

 为 0 的概率，等价于除开该变量节点 

v_i

 外的其他变量节点的模2和应该为0的概率，这样才能满足连接到该校验节点 

c_j

 的所有变量节点的模2和为0的校验约束。也就等价于求其他变量节点中包含偶数个 1 的概率，即前面已经证明过的引理1。

q^{(l-1)}_{i'j}(1)

表示在第 

l

 次迭代中除 

v_i

 外的其他变量节点为 1 的概率，由第 

l-1

 次迭代时变量节点 

i'

 传递给校验节点 

j

 的外信息确定。

r^{(l)}_{ji}(1)

 的含义同理可得。

（3）变量节点更新（变量节点 

v_i

 传递给校验节点 

c_j

 的外信息）

变量节点 

v_i

 的任务是综合来自信道的初始信息和连接到它的校验节点（除校验节点 

c_j

 ）传来的外信息。

\begin{cases}q_{ij}^{(l)}(0)=K_{ij}q_{ij}^{(0)}(0)\displaystyle\prod_{j'\in C(i)\diagdown j}r_{j'i}^{(l)}(0)\\ \\q_{ij}^{(l)}(1)=K_{ij}q_{ij}^{(0)}(1)\displaystyle\prod_{j'\in C(i)\diagdown j}r_{j'i}^{(l)}(1)\end{cases}

其中的 

K_{ij}

 是校正因子，使每次计算出的 

q_{ij}^{(l)}(1)+q_{ij}^{(l)}(0)=1

 。

理解含义：

q^{(l)}_{ij}(0)

 表示在第

l

 次迭代中，变量节点 

v_i

 为 0 的概率，这个概率包括初始为0的概率、除开该校验节点

c_j

 外的其他校验节点推测该变量节点 

v_i

 为 0 的概率，这些概率值相乘得到了第 

l

 次迭代中 

v_i=0

 的概率。

q^{(l)}_{ij}(1)

 的含义同理可得。

（4）译码与终止条件

在每次迭代结束时，计算每个变量节点的总后验LLR，这里包含了所有校验节点的信息：

\begin{cases}q_{i}^{(l)}(0)=K_iP_i(0)\displaystyle\prod_{j\in C(i)}r_{ji}^{(l)}(0)\\q_i^{(l)}(1)=K_iP_i(1)\displaystyle\prod_{j\in C(i)}r_{ji}^{(l)}(1)\end{cases}

其中的 

K_i

 是校正因子，目的是使 

q_i^{(l)}(0)+q_i^{(l)}(1)=1

 。

    • 若达到最大次数仍未满足校验条件，则宣布译码失败。

若 

s\neq 0

 且未达到最大迭代次数，则回到步骤（2）继续下一轮迭代。

若 

s=0

 ，说明所有校验方程满足，译码成功，提前终止。

校验：计算 

s = H\cdot \hat x^T

。

硬判决：若 

q_i^{(l)}(0)>q_i^{(l)}(1)

 ，则判

\hat x_i=0

 ，否则判

\hat x_i=1

 。

2.4 对数域BP译码算法

前面介绍了概率域上的BP译码算法，但在实际工程实现中，并不会使用概率域BP译码算法，因为其包含大量的连乘运算，计算复杂度非常高。常见的做法是将概率信息用对数似然比表示，得到对数域上的BP译码算法，大量的连乘运算可以转化为加法运算。

2.4.1 标准和积算法（Sum-Product Algorithm, SPA）

和积算法是BP算法的标准实现（不包含任何近似），被公认为性能最优的软判决迭代算法。

（1）初始化

同样的，第一步是初始化算法的输入。对于每个变量节点 

v_i

 ，根据信道接收值 

y_i

 计算初始信道LLR，即变量节点发送给校验节点的初始信息。对于AWGN信道、BPSK调制：

LLR(P_i)=\ln\frac{P_i(0)}{P_i(1)}=\ln\frac{P(x_i=0\mid y_i)}{P(x_i=1\mid y_i)}=\frac{2y_i}{\sigma^2}

下面对该公式进行详细推导：

  • 对数似然比（LLR）的定义

如前所述，根据接收信号

y

判断发送端发送的比特是 0 或 1 的概率可以表示为后验概率

P(x=0|y)

或

P(x=1|y)

 。一般情况下，我们更关心两者的比值，因为如果

P(x=0|y)

大于

P(x=1|y)

，我们就有有理由判断

x = 0

 ，否则，我们更倾向于判断

x =1

：

\left\{\begin{matrix} \frac{P(x=0|y)}{P(x=1|y)}>1\quad x=0 \\ \\ \frac{P(x=0)|y)}{P(x=1|y)}<1\quad x=1 \end{matrix}\right.

为了简化运算，一般还要再取对数，这就是对数似然比的定义式：

LLR(y)=ln\frac{P(x=0|y)}{P(x=1|y)}

判决准则相应地变为：

\left\{\begin{matrix} ln\frac{P(x=0|y)}{P(x=1|y)}>0\quad x=0 \\ \\ ln\frac{P(x=0)|y)}{P(x=1|y)}<0\quad x=1 \end{matrix}\right.
  • 信道初始LLR的计算

得到了LLR的定义式后，却不能直接根据该定义式进行计算，原因是后验概率

P(x|y)

只是一个离散分布（即在接收端收到某一个具体的

y

值后，

x

只可能是 0 或者 1），我们无法写出它的函数解析式。在2.2节中提到过，编码码字

x

经过调制得到发送信号

s

（

x

与

s

是一一映射的，在BPSK中，0 一般映射为 +1 ，1 一般映射为 -1 ），

s

经过AWGN信道传输（加入高斯白噪声 

n

）得到接收信号

y = s+n

 ，因为噪声 

n

是服从高斯分布的，所以接收信号

y

也服从高斯分布。例如，发送端发送了

x = 0

（即

s = +1

），

y = 1+n

也依然服从高斯分布，因为给定

x

的情况下，

s

是一个常数。

噪声 

n

 服从均值为 0 ，方差为 

\sigma^2

 的高斯分布，可表示为 

n \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)

，满足以下概率密度函数：

P(n) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left( -\frac{n^2}{2\sigma^2} \right)

代入

y = s+n

，这个式子可以写成：

P(y-s) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left( -\frac{(y-s)^2}{2\sigma^2} \right)

进一步，

P(y-s)

 等价于 

P(y|x)

 ，所以式子最终可以写成：

P(y|x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left( -\frac{(y-s)^2}{2\sigma^2} \right)

这里的逻辑有点绕，但其实很好理解，因为 

P(n)

 和 

P(y|x)

 描述的是同一件事情。

P(n)

 表示噪声取某个值的概率，

P(y|x)

 表示已知 

x

（等价于已知 

s

 ，因为它们是一一映射的）的条件下，

y

取某个值的概率，因为当 

x

 已知时，

s

 是一个固定的常数，

y

的值就完全由

n

决定，所以这两个表达式是完全等价的。还是前面的例子，发送端发送了

x = 0

（即

s = +1

），

y = 1+n

，这个时候求

n

取某个值的概率，也就是求

s = 1

时，

y

取某个值的概率。

P(y|x)

 被称为似然概率，根据上面的式子，它是服从高斯分布的。

还记得前面说的，后验概率 

P(x|y)

 是一个离散分布，无法写出它的函数解析式。因此，我们可以利用贝叶斯公式，将其转化为服从高斯分布的似然概率 

P(y|x)

 与先验概率 

P(x)

 的表达式：

P(x|y)=\frac{P(y|x)\cdot P(x)}{P(y)}

到这里，就可以对LLR进行计算了：

LLR(y)=ln\frac{P(x=0|y)}{P(x=1|y)}=ln\frac{P(y|x=0)\cdot P(x=0)}{P(y|x=1)\cdot P(x=1)}=ln\frac{P(y|x=0)}{P(y|x=1)}+ln\frac{P(x=0)}{P(x=1)}

这里分成了两部分：

一是信道信息 

ln\frac{P(y|x=0)}{P(y|x=1)}

 ，代入前面求的概率密度函数：

\begin{aligned} LLR(y) &= \ln \frac{\exp\left( -\frac{(y-1)^2}{2\sigma^2} \right)}{\exp\left( -\frac{(y+1)^2}{2\sigma^2} \right)} &= -\frac{(y-1)^2}{2\sigma^2} - \left( -\frac{(y+1)^2}{2\sigma^2} \right) &= \frac{2y}{\sigma^2} \end{aligned}

注意，这里

(y-s)^2

 中代入的

s

 值需要看BPSK调制的具体映射关系，这里是 0->+1，1->-1，如果是更高阶的调制，整个表达式会发生变化，求解更加复杂。具体可以看这位博主的文章：高斯白噪声信道下对数似然比的推导--- QPSK+BPSK - 哔哩哔哩

二是先验信息 

L_a = \ln \frac{P(x=0)}{P(x=1)}

 ，一般情况下发送比特是0或1的概率相等，因此 

L_a

 通常为0。

因此，信道初始LLR的计算式最终可以化简为：

LLR(y)=\frac{2y}{\sigma^2}

这是对数域译码算法中信道初始化的常用式子，基本上是作为一个结论使用的，少有详细推导。其中，

\sigma^2

 是噪声方差，它的求法也有一个推导过程，这里就不赘述了，以后有机会再补上。

（2）校验节点更新（校验节点 

c_j

 传递给变量节点 

v_i

 的外信息）

根据前面的定义，对数域BP译码算法的校验节点更新公式为：

r_{ji}=\ln\frac{r_{ji}(0)}{r_{ji}(1)} \\ \\=\ln\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\displaystyle\prod_{i'\in V(j)\diagdown i}(1-2q_{i'j}(1))}{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\displaystyle\prod_{i'\in V(j)\diagdown i}(1-2q_{i'j}(1))}\\ \\=ln\frac{1+\displaystyle\prod_{i'\in V(j)\diagdown i}(1-2q_{i'j}(1))}{1-\displaystyle\prod_{i'\in V(j)\diagdown i}(1-2q_{i'j}(1))}

在数学中，双曲正切函数 

tanh

 有以下两个公式成立：

tanh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\quad\quad tanh^{-1}(x)=\frac{1}{2}ln\frac{1+x}{1-x}

且有以下几个关系式成立：

1-2q_{i'j}(1)=q_{i'j}(0)-q_{i'j}(1)\\ \\q_{i'j}(0)+q_{i'j}(1)=1\\ \\q_{i'j}=ln\frac{q_{ij}(0)}{q_{ij}(1)}

可以利用这几个公式对 

r_{ji}

 进行化简：

r_{ji}=2tanh^{-1}(\displaystyle\prod_{i'\in V(j)\diagdown i}(1-2q_{i'j}(1)))\\=2tanh^{-1}(\displaystyle\prod_{i'\in V(j)\diagdown i}(q_{i'j}(0)-q_{i'j}(1)))\\=2tanh^{-1}(\displaystyle\prod_{i'\in V(j)\diagdown i}(\frac{q_{i'j}(0)-q_{i'j}(1)}{q_{i'j}(0)+q_{i'j}(1)}))\\=2tanh^{-1}(\displaystyle\prod_{i'\in V(j)\diagdown i}(\frac{\frac{q_{i'j}(0)}{q_{i'j}(1)}-1}{\frac{q_{i'j}(0)}{q_{i'j}(1)}+1}))\\ \\=2tanh^{-1}(\displaystyle\prod_{i'\in V(j)\diagdown i}(\frac{e^{q_{i'j}}-1}{e^{q_{i'j}}+1}))\\ =2tanh^{-1}(\displaystyle\prod_{i'\in V(j)\diagdown i}(\frac{e^{\frac{q_{i'j}}{2}}(e^{\frac{q_{i'j}}{2}}-e^{-\frac{q_{i'j}}{2}})}{e^{\frac{q_{i'j}}{2}}(e^{\frac{q_{i'j}}{2}}+e^{-\frac{q_{i'j}}{2}})}))\\ \\=2tanh^{-1}(\displaystyle\prod_{i'\in V(j)\diagdown i}tanh\frac{q_{i'j}}{2})

故校验节点更新的公式最终可以化简为：

r_{ji}=2tanh^{-1}(\displaystyle \prod_{i'\in V(j)\setminus i}tanh\frac{q_{i'j}}{2})

 

这是SPA的标准公式。由于 tanh 的乘积计算复杂，该标准公式还有另外一种表达形式，可以使用 

\Phi

 函数将乘积转换为加法：

r_{ji}=\displaystyle\prod_{i'\in V(j)\setminus i}sign(q_{i'j})\enspace \cdot \enspace \Phi^{-1}(\displaystyle\sum_{i'\in V(j)\setminus i}\Phi(|q_{i'j}|))\\ \\ =sign(r_{ji})\: \cdot \: |r_{ji}|
r_{ji}=\displaystyle\prod_{i'\in V(j)\setminus i}sign(q_{i'j})

 是符号部分 

sign(r_{ji})

 。

\Phi^{-1}(\displaystyle\sum_{i'\in V(j)\setminus i}\Phi(|q_{i'j}|))

 是幅度部分 

|r_{ji}|

 。

符号部分表示校验节点 

c_j

 推测变量节点 

v_i

 是 0 或 1（方向），由输入消息的符号异或决定；

幅度部分表示校验节点 

c_j

 推测变量节点 

v_i

 是 0 或 1 的确定性（强度）。

\Phi

 函数定义为：

\Phi(x)=-ln(tanh(\frac{x}{2}))=ln(coth(\frac{x}{2}))=ln(\frac{e^x+1}{e^x-1})
\Phi(x)

 是自逆函数，即 

\Phi(\Phi(x))=x

 ；同时，

\Phi(x)

 是单调递减函数且为正值（当

x>0

 ），当 

x\rightarrow 0^{+}

 时，

\Phi(x)\rightarrow +\infty

 ，当 

x\rightarrow +\infty

 时，

\Phi(x)\rightarrow 0^{+}

 。

（3）变量节点更新（变量节点 

v_i

 传递给校验节点 

c_j

 的外信息）

变量节点更新的操作在LLR域即为简单的加法：

q_{ij}=ln\frac{P_i(0)\displaystyle \prod_{j' \in C(i) \setminus j}r_{j'i}(0)}{P_i(1)\displaystyle \prod_{j'\in C(i) \setminus j}r_{j'i}(1)}=LLR(P_i)+\displaystyle \sum_{j'\in C(i)\setminus j}r_{j'i}

（4）译码与终止条件

在每次迭代结束时，计算每个变量节点的总后验LLR：

q_i=LLR(P_i)+\displaystyle \sum_{j'\in C(i)} r_{j'i}

这里包含了所有校验节点的信息。

    • 若达到最大次数仍未满足校验条件，则宣布译码失败。

若 

s\neq 0

 且未达到最大迭代次数，则回到步骤（2）继续下一轮迭代。

若 

s=0

 ，说明所有校验方程满足，译码成功，提前终止。

校验：计算 

s = H\cdot \hat x^T

。

硬判决：若

q_i>0

 ，则判

\hat x_i=0

 ，否则判

\hat x_i=1

 。

2.4.2 最小和算法（Min-Sum Algorithm, MSA）

虽然SPA提供了最优的误码率性能，但 tanh函数（或 

\Phi

 函数）作为非线性运算在FPGA或ASIC实现中不仅占用大量面积，还容易受到定点数量化误差的影响。为了解决这一问题，工程界广泛采用基于”最小近似“的简化算法，主要改进了校验节点更新的公式，推导如下：

函数 

\Phi(x)=-ln(tanh(x/2))

 中，当

x

 较大时，

\Phi(x)

 会迅速衰减。因此，在求和 

\sum \Phi(|L|)

 时，主要的贡献来自于数值最大的 

\Phi(|L|)

 项，而 

\Phi(x)

 是单调递减函数，这意味着最大的 

\Phi(|L|)

 值对应最小的输入幅度 

|L|

 。因此，我们可以用最小值来近似整个非线性运算：

\Phi^{-1}(\sum \Phi(|L_k|))\approx min(|L_k|)

MSA校验节点更新公式：

r_{ji}=\left( \displaystyle\prod_{i'\in V(j) \setminus i}sgn(q_{i'j})\right) \enspace \cdot \enspace \displaystyle \min_{i'\in V(j) \setminus i}(|q_{i'j}|)

即符号部分不变，对幅值部分进行了近似操作。

这个近似结果是偏大的。如前所述，

\Phi(x)

 是一个减函数且为正值（

x>0

 ），因为 

\Phi(|L_k|)

 都是正数，所以 

\sum \Phi(|L_k|)

 一定大于等于其中最大的那一项 

\Phi(min(|L_k|))

 ，又因为 

\Phi^{-1}(x)

 也是减函数，因此  

\Phi^{-1}(\sum \Phi(|L_k|)) < \Phi^{-1}(\Phi(min(|L_k|)))=min(|L_k|)

 。 

特性分析：

  • 硬件优势：复杂的双曲函数被简化为“比较”和“符号异或”操作。这极大地降低了逻辑门数量，使得高速并行实现成为可能。

性能损失：由于 

min(|L|)

 实际上总是大于等于真实的 

\Phi^{-1}(\sum\Phi)

 值，MSA 倾向于高估校验节点输出的可靠性（LLR幅度偏大）。这种过估计会导致性能下降，通常在高斯信道下比SPA差约0.5dB到1dB。

2.4.3 修正最小和算法

1、归一化最小和算法（Scaled Min-Sum Algorithm, NMSA）

为了修正MSA的幅度过估计问题，NMSA引入了一个归一化因子（缩放因子）

\alpha

 （通常 

0< \alpha <1

 ）。

NMSA的校验节点更新公式修正为：

r_{ji}=\left( \displaystyle\prod_{i'\in V(j) \setminus i}sgn(q_{i'j})\right) \enspace \cdot \enspace \displaystyle \alpha \cdot \min_{i'\in V(j) \setminus i}(|q_{i'j}|)
  • 优势：NMSA保留了MSA的线性特性，仅增加了一个乘法（可以通过移位加法实现），却能恢复大部分因近似丢掉的性能。它是目前5G NR、DVB-T2/S2和Wi-Fi标准中LDPC译码器的主流选择。 

参数选择：

\alpha

 的最优值取决于码率、度分布和信噪比，通常通过密度进化理论计算或蒙特卡洛仿真搜索得到。对于大多数规则码，

\alpha \approx 0.75 \sim 0.8

 是常用值。

2、偏移最小和算法（Offset Min-Sum Algorithm, OMSA）

OMSA采用减法偏移来降低LLR幅度，修正过估计。

OMSA的校验节点更新公式修正为：

r_{ji}=\left( \displaystyle\prod_{i'\in V(j) \setminus i}sgn(q_{i'j})\right)\cdot max(\displaystyle\min_{i'\in V(j) \setminus i}(|q_{i'j}|)-\beta, 0)

其中，

\beta

 是非负偏移量。

  • 优势：在硬件中，减法比乘法更容易实现（尤其对于定点数）。此外，OMSA在某些高信噪比场景下对错误平层的抑制效果略优于NMSA。

三、Matlab代码

3.1 SPA

基础版本严格对照译码流程，逻辑清晰，但包含大量for循环，效率较低，适合用来理解算法。

function [decoded_bits, iter] = SPA_BP(H, llr, max_iterations) % 实现SPA-BP译码算法 % 输入: % H - 校验矩阵 % llr - 接收到的LLR值 % max_iterations - 最大迭代次数 % 输出: % decoded_bits - 译码后的比特序列 % 获取校验矩阵尺寸 [m, n] = size(H); % 初始化变量节点到校验节点的消息 % v2c[i,j]表示第i个变量节点到第j个校验节点的消息 v2c = zeros(n, m); % 初始化校验节点到变量节点的消息 % c2v[j,i]表示第j个校验节点到第i个变量节点的消息 c2v = zeros(m, n); % 初始化变量节点的后验LLR值 posterior_llr = llr; % 创建校验节点和变量节点的连接列表，避免遍历整个矩阵 check_nodes = cell(m, 1); variable_nodes = cell(n, 1); for i = 1:m check_nodes{i} = find(H(i, :) == 1); end for j = 1:n variable_nodes{j} = find(H(:, j) == 1); end % BP迭代过程 for iter = 1:max_iterations % 校验节点到变量节点的消息更新 for i = 1:m connected_vars = check_nodes{i}; for j_idx = 1:length(connected_vars) j = connected_vars(j_idx); % 校验节点i到变量节点j的消息更新使用tanh-product规则 prod_tanh = 1; for k_idx = 1:length(connected_vars) k = connected_vars(k_idx); if k ~= j % 防止数值不稳定 v2c_clamped = max(min(v2c(k, i), 30), -30); prod_tanh = prod_tanh * tanh(v2c_clamped / 2); end end % 防止数值不稳定（避免log(0)） if abs(prod_tanh) > 0.9999 prod_tanh = sign(prod_tanh) * 0.9999; end c2v(i, j) = 2 * atanh(prod_tanh); % 限制消息的数值范围，防止数值溢出 c2v(i, j) = max(min(c2v(i, j), 30), -30); end end % 变量节点到校验节点的消息更新 for j = 1:n connected_checks = variable_nodes{j}; for i_idx = 1:length(connected_checks) i = connected_checks(i_idx); % 变量节点j到校验节点i的消息 = % 原始LLR + 所有其他连接的校验节点到该变量节点的消息 v2c(j, i) = llr(j); for k_idx = 1:length(connected_checks) k = connected_checks(k_idx); if k ~= i v2c(j, i) = v2c(j, i) + c2v(k, j); end end end end % 计算每个变量节点的后验LLR值 for j = 1:n posterior_llr(j) = llr(j); connected_checks = variable_nodes{j}; for i_idx = 1:length(connected_checks) i = connected_checks(i_idx); posterior_llr(j) = posterior_llr(j) + c2v(i, j); end end % 硬判决 decoded_bits = double(posterior_llr < 0); % 校验是否满足所有校验方程 syndromes = mod(H * decoded_bits', 2); if sum(syndromes) == 0 % 所有校验方程都满足，提前结束迭代 break; end end end

优化版本利用了Matlab擅长矩阵运算的特点，去掉繁琐的for循环，运行速度可以提升10倍左右：

function [decoded_bits, iter] = SPA_BP_Optimized(H, llr, max_iterations) % SPA_BP_Optimized 实现矢量化BP译码算法 [m, n] = size(H); % 预处理：将H转换为逻辑矩阵，用于快速掩膜(Masking) H_mask = logical(H); % 初始化消息矩阵 (全部使用 m x n 维度) % V2C: 变量节点到校验节点 (初始为LLR值，仅在H_mask位置有效) V2C = repmat(llr, m, 1) .* H_mask; % C2V: 校验节点到变量节点 C2V = zeros(m, n); % 数值稳定性常数 SMALL_VAL = 1e-15; % 防止log(0) LARGE_VAL = 30; % LLR截断阈值，防止溢出 for iter = 1:max_iterations % ============================== % 1. 校验节点更新 (Horizontal Step) % ============================== % 目标:计算 2 * atanh( prod( tanh(V2C/2) \ i ) ) % 优化策略: 使用 φ 函数技巧，将乘积转为求和，并将符号和数值分离处理 % A. 处理符号 (Sign) Sign_V2C = sign(V2C); Sign_V2C(V2C == 0) = 1; % 避免0符号问题 Sign_V2C(~H_mask) = 1; % 非连接处设为1，不影响乘积 % 计算每行的总奇偶校验位 Total_Sign = prod(Sign_V2C, 2); % 排除自身的符号 (通过除法或异或，这里用乘法因为是1/-1) C2V_Sign = Total_Sign .* Sign_V2C; % B. 处理数值 (Magnitude) - 使用 -log(tanh(|x|/2)) 变换 Abs_V2C = abs(V2C); % 避免数值计算错误 log(tanh(0))=Inf，对极小值进行裁剪 Abs_V2C(Abs_V2C < SMALL_VAL) = SMALL_VAL; % 核心变换函数 phi(x) Phi_V2C = -log(tanh(Abs_V2C / 2)); Phi_V2C(~H_mask) = 0; % 非连接处设为0，不影响求和 % 行求和 Total_Phi = sum(Phi_V2C, 2); % 排除自身贡献 Phi_External = Total_Phi - Phi_V2C; % 逆变换回去 (函数形式相同) % C2V_Mag = -log(tanh(Phi_External / 2)); % 同样对极小值进行裁剪 Phi_External(Phi_External < SMALL_VAL) = SMALL_VAL; C2V_Mag = -log(tanh(Phi_External / 2)); % C. 组合符号和数值，并进行范围截断 C2V = C2V_Sign .* C2V_Mag; C2V = max(min(C2V, LARGE_VAL), -LARGE_VAL); % 应用掩膜，确保非连接处为0 C2V = C2V .* H_mask; % ============================== % 2. 变量节点更新 (Vertical Step) % ============================== % 目标: LLR_post = LLR_intrinsic + sum(C2V) % V2C_new = LLR_post - C2V_old % 计算后验 LLR (列求和) Sum_C2V = sum(C2V, 1); Posterior_LLR = llr + Sum_C2V; % 硬判决 decoded_bits = double(Posterior_LLR < 0); % 校验是否满足 H * x = 0 % 注意：Matlab中 dense matrix * dense vector 很快 syndrome = mod(H * decoded_bits', 2); if all(syndrome == 0) return; end % 更新 V2C 消息 (总和 - 来自该校验节点的消息) V2C = repmat(Posterior_LLR, m, 1) - C2V; % 再次截断并掩膜 V2C = max(min(V2C, LARGE_VAL), -LARGE_VAL); V2C = V2C .* H_mask; end end

3.2 MSA、NMSA、OMSA

MSA基础版本，将校验节点更新的部分相应改为：

% 校验节点到变量节点的消息更新 for i = 1:m connected_vars = check_nodes{i}; for j_idx = 1:length(connected_vars) j = connected_vars(j_idx); % 校验节点i到变量节点j的消息更新使用Min-sum规则 min_val = Inf; sign_prod = 1; for k_idx = 1:length(connected_vars) k = connected_vars(k_idx); if k ~= j sign_prod = sign_prod * sign(v2c(k, i)); min_val = min(min_val, abs(v2c(k, i))); % 遍历找到最小值 end end c2v(i, j) = sign_prod * min_val; % 限制消息的数值范围，防止数值溢出 c2v(i, j) = max(min(c2v(i, j), 20), -20); end end

NMSA基础版本，将校验节点更新的部分相应改为：

% 校验节点到变量节点的消息更新 for i = 1:m connected_vars = check_nodes{i}; for j_idx = 1:length(connected_vars) j = connected_vars(j_idx); % 校验节点i到变量节点j的消息更新使用Min-sum规则 min_val = Inf; sign_prod = 1; for k_idx = 1:length(connected_vars) k = connected_vars(k_idx); if k ~= j sign_prod = sign_prod * sign(v2c(k, i)); min_val = min(min_val, abs(v2c(k, i))); end end % 应用归一化因子alpha c2v(i, j) = sign_prod * alpha * min_val; % 限制消息的数值范围，防止数值溢出 c2v(i, j) = max(min(c2v(i, j), 20), -20); end end

OMSA基础版本，将校验节点更新的部分相应改为：

% 校验节点到变量节点的消息更新 for i = 1:m connected_vars = check_nodes{i}; for j_idx = 1:length(connected_vars) j = connected_vars(j_idx); % 校验节点i到变量节点j的消息更新使用Mins_sum规则 min_val = Inf; sign_prod = 1; for k_idx = 1:length(connected_vars) k = connected_vars(k_idx); if k ~= j sign_prod = sign_prod * sign(v2c(k, i)); min_val = min(min_val, abs(v2c(k, i))); end end % 应用偏移操作 offset_val = max(min_val - beta, 0); c2v(i, j) = sign_prod * offset_val; % 限制消息的数值范围，防止数值溢出 c2v(i, j) = max(min(c2v(i, j), 20), -20); end end

优化版本，将以上四种算法整合了一下，直接一步到位：

function [decoded_bits, iter] = BP_Decoder(H, llr, max_iterations, algo_type, param) % 实现统一的 BP 译码 % 输入: % H: 校验矩阵 % llr: 初始对数似然比 % max_iterations: 最大迭代次数 % algo_type: 'SPA', 'MSA', 'NMSA', 'OMSA' % param: 对于 NMSA 是缩放因子 alpha (如 0.75); 对于 OMSA 是偏移量 beta (如 0.15) if nargin < 4 algo_type = 'SPA'; end if nargin < 5 % 默认参数设置 if strcmp(algo_type, 'NMSA') param = 0.75; elseif strcmp(algo_type, 'OMSA') param = 0.15; else param = 0; end end [m, n] = size(H); H_mask = logical(H); % 初始化消息矩阵 V2C = repmat(llr, m, 1) .* H_mask; C2V = zeros(m, n); % 常数定义 LARGE_VAL = 30; % 截断阈值 SMALL_VAL = 1e-15; % 仅用于 SPA，防止 log(0)=Inf for iter = 1:max_iterations % ============================== % 1. 校验节点更新 (Horizontal Step) % ============================== % --- A. 符号处理 (所有算法通用) --- Sign_V2C = sign(V2C); Sign_V2C(V2C == 0) = 1; Sign_V2C(~H_mask) = 1; % 计算总奇偶校验 (行乘积) Total_Sign = prod(Sign_V2C, 2); C2V_Sign = Total_Sign .* Sign_V2C; % 排除自身 % --- B. 数值处理 (根据算法区分) --- Abs_V2C = abs(V2C); if strcmp(algo_type, 'SPA') % === SPA 算法 === Abs_V2C(Abs_V2C < SMALL_VAL) = SMALL_VAL; Phi_V2C = -log(tanh(Abs_V2C / 2)); Phi_V2C(~H_mask) = 0; Total_Phi = sum(Phi_V2C, 2); Phi_External = Total_Phi - Phi_V2C; % 防止数值问题 Phi_External(Phi_External < SMALL_VAL) = SMALL_VAL; C2V_Mag = -log(tanh(Phi_External / 2)); else % === MSA / NMSA / OMSA === % 1. 预处理：将非连接处(0)设为无穷大，避免影响求最小值 Abs_V2C_Temp = Abs_V2C; Abs_V2C_Temp(~H_mask) = inf; % 2. 寻找每一行的 最小值(min1) 和 次小值(min2) % [val, idx] = min(...) [min1_val, min1_idx] = min(Abs_V2C_Temp, [], 2); % 为了找次小值，先将最小值的位置设为无穷大 Abs_V2C_Temp_NoMin1 = Abs_V2C_Temp; % 使用线性索引快速替换 linear_indices = sub2ind([m, n], (1:m)', min1_idx); Abs_V2C_Temp_NoMin1(linear_indices) = inf; [min2_val, ~] = min(Abs_V2C_Temp_NoMin1, [], 2); % 3. 构建 C2V_Mag 矩阵 % 逻辑：如果所在位置正好是最小值 min1 则输出 min2，否则是 min1 % 先假设所有位置输出的都是全局最小值 C2V_Mag = repmat(min1_val, 1, n); % 将原本是 min1 的位置用 min2 代替 C2V_Mag(linear_indices) = min2_val; % 4. 针对变种进行修正 if strcmp(algo_type, 'NMSA') % Normalized MSA: 乘以归一化因子 alpha (0 < alpha < 1) alpha = param; C2V_Mag = C2V_Mag * alpha; elseif strcmp(algo_type, 'OMSA') % Offset MSA: 减去偏移量 beta, 并保证不小于0 beta = param; C2V_Mag = max(C2V_Mag - beta, 0); end end % --- C. 组合与截断 (所有算法通用) --- C2V = C2V_Sign .* C2V_Mag; C2V = max(min(C2V, LARGE_VAL), -LARGE_VAL); C2V = C2V .* H_mask; % ============================== % 2. 变量节点更新 (Vertical Step) % ============================== Sum_C2V = sum(C2V, 1); Posterior_LLR = llr + Sum_C2V; decoded_bits = double(Posterior_LLR < 0); % 校验 H*x^T = 0 syndrome = mod(H * decoded_bits', 2); if all(syndrome == 0) return; end V2C = repmat(Posterior_LLR, m, 1) - C2V; V2C = max(min(V2C, LARGE_VAL), -LARGE_VAL); V2C = V2C .* H_mask; end end

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第二章-AIGC入门-AIGC工具全解析：技术控的效率神器，DeepSeek国产大模型的骄傲（8/36）

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一、引言：AIGC 时代的浪潮 在数字化时代的浪潮中，人工智能生成内容（AIGC）技术正以迅猛之势席卷而来，深刻地改变着我们的生活和工作方式。从日常的社交媒体互动，到专业的内容创作、设计、教育、医疗等领域，AIGC 工具无处不在，展现出强大的影响力和无限的潜力。 AIGC 技术的核心在于利用人工智能算法，通过对海量数据的学习和分析，自动生成各种形式的内容，包括文本、图像、音频、视频等 。这一技术的突破，打破了传统内容创作的边界，使得内容生产变得更加高效、智能和多样化。无论是创作一篇新闻报道、设计一幅精美的海报，还是制作一段引人入胜的视频，AIGC 工具都能提供有力的支持，帮助创作者节省时间和精力，激发更多的创意灵感。 如今，AIGC 工具已经广泛应用于各个行业。在新闻媒体领域，自动化新闻写作工具能够快速生成体育赛事、财经新闻等报道，大大提高了新闻的时效性；在广告营销行业，AIGC 可以根据产品特点和目标受众，生成极具吸引力的广告文案和创意设计，提升营销效果；在影视游戏制作中，AIGC

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