一、算法概述
本文基于Q-learning 离线强化学习，实现三维栅格环境下无人机无碰撞、最短路径、最少步数路径规划。无人机具备1 格/2 格三维全向移动、对角线飞行、悬停能力，通过与环境交互迭代学习最优策略，以到达终点、路径距离、移动步数、避障为核心目标，输出满足约束的最优飞行路径。
二、环境与核心建模
1. 三维状态空间
将无人机飞行空间离散化为三维栅格地图，状态定义为无人机坐标： $$S={(x,y,z) \mid 1 \le x \le X_{max},\ 1 \le y \le Y_{max},\ 1 \le z \le Z_{max}}$$
- $(x,y,z)$：无人机空间位置
- $X_{max},Y_{max},Z_{max}$：地图边界（代码中为 10×10×10）
2. 动作空间（代码实现）
共54 种动作，包含：
- 6 个轴向 1 格移动、12 个平面斜向 1 格移动、8 个空间斜向 1 格移动
- 6 个轴向 2 格移动、12 个平面斜向 2 格移动、8 个空间斜向 2 格移动
- 1 个悬停动作 (0,0,0)
动作集合： $$A={ (\Delta x,\Delta y,\Delta z) \mid \Delta x,\Delta y,\Delta z \in {-2,-1,0,1,2},\ 非全零 } \cup { (0,0,0) }$$
3. 约束条件
- 边界约束：坐标必须在地图范围内
- 避障约束：禁止进入障碍物坐标
- 目标约束：从起点 (2,2,2) 到达终点 (9,9,8)
三、Q-learning 核心数学原理
1. Q 值函数
$Q(s,a)$ 表示状态$s$下执行动作$a$的长期累积奖励期望，是算法核心决策依据： $$Q(s,a) \leftarrow Q(s,a) + \alpha \cdot [ R(s,a) + \gamma \cdot \max_{a'} Q(s',a') - Q(s,a) ]$$ 参数定义：
- $\alpha$：学习率，控制更新步长（代码中动态衰减：0.25→0.05）
- $\gamma$：折扣因子，权衡远期奖励（代码中$\gamma=0.99$）
- $R(s,a)$：即时奖励
- $s'$：执行动作后的新状态
- $\max Q(s',a')$：下一状态最优动作价值
2. 动作选择策略
采用ε-贪心策略 + 动态衰减，平衡探索与利用： $$\pi(a|s)= \begin{cases} \arg\max_a Q(s,a) & 概率\ 1-\varepsilon（利用最优策略）\ 随机合法动作 & 概率\ \varepsilon（探索未知环境） \end{cases}$$ $\varepsilon$ 随训练指数衰减：$\varepsilon = \max(\varepsilon_{min},\ \varepsilon_0 \cdot e^{-0.007 \cdot episode})$
四、奖励函数 Reward 设计
本算法以路径最短、无碰撞、必达终点、步数最少为目标，奖励函数分 4 类场景设计：
1. 奖励函数数学表达式
$$R(s,a)= \begin{cases} 3500 - 15 \cdot d_{step} - 5 \cdot N_{step} & \text{到达终点}\ -1500 & \text{碰撞障碍物/越界}\ 30 \cdot (d_{cur}-d_{next}) -10 \cdot d_{step} -2 \cdot N_{step} -10 & \text{悬停}\ 30 \cdot (d_{cur}-d_{next}) -10 \cdot d_{step} -2 \cdot N_{step} & \text{正常飞行} \end{cases}$$
2. 奖励项详细介绍
- 到达终点（最高奖励）
