全排列问题回溯解法（C++ 实现）

题目描述

给定一个不含重复数字的数组 nums，返回其所有可能的全排列。你可以按任意顺序返回答案。

输入输出样例

示例 1： 输入：nums = [1,2,3] 输出：[[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]

示例 2： 输入：nums = [0,1] 输出：[[0,1],[1,0]]

示例 3： 输入：nums = [1] 输出：[[1]]

提示： 1 <= nums.length <= 6 -10 <= nums[i] <= 10 nums 中的所有整数互不相同

题解

解题思路

思路一（递归（回溯））：

1. 这题需求全排列，这里我们可以想到数学上进行全排列的过程。假设求 [1,2,3] 的全排列。我们首先需在 [1,2,3] 中，选取一个元素放在第一个位置，再在剩余两个元素中选取一个元素放在第二个位置，再将剩余的一个元素放在最后一个位置。

通过递归树可以分析出，每层会确定一个元素的位置，从上到下的一条路径正好是一个排列。（在此过程中我们需要记录哪些元素已被选取）

2. 具体思路如下： ① 定义一个 used 用来存储当前元素是否被使用。定义一个 path 来存储从上到下的一条路径（正好是一个排列）。定义一个 ans 来存储所有的路径。 ② 递归的每层确定一个元素的位置，且每层会列举所有未使用的元素。（每层挑选一个元素（未使用）存入 path 中，将使用的元素进行标记)。 ③ 当 path 中元素的个数到达全排列的要求时，则将 path 存入 ans 中，再进行回溯（回溯时需将相应的元素置为未使用）。

3. 复杂度分析 ① 时间复杂度：O(n * n!)，其中 n 是数组中的元素数量。其主要是递归调用的次数和将 path 复制到 ans 中的时间开销。递归调用消耗 n！（全排列的个数），每个全排列答案复制到 ans 中消耗 n 时间。 ② 空间复杂度：O(n)，其中 n 是数组中的元素数量。递归 n 层（每层确定一个元素的位置）O(n)。path 存储从上到下的一条路径（正好是一个排列）O(n)。使用一个 used 数组存储元素是否被使用 O(n)。

代码实现

代码实现（思路一（递归（回溯）））：

class Solution {
private:
    // 用于存放一种排列
    vector<int> path;
    // 用于存放所有全排列
    vector<vector<int>> res;
    // 运用回溯算法求解全排列问题
    void backtracking(vector<int>& nums, vector<bool>& used) {
        // 递归出口（当 path 达到一个排列的个数时，也就是到达叶子节点时，记录答案）
        if (path.size() == nums.size()) {
            res.emplace_back(path);
            return;
        }
        // 在每个位置枚举不用的元素
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            // 如果当前元素已经被使用则跳过此元素
            if (used[i] == true) continue;
            // 若当前元素还未使用，则将其添加到一个排列中，标记已使用
            path.emplace_back(nums[i]);
            used[i] = true;
            // 再重复的添加元素，直到一个排列的个数满足条件
            backtracking(nums, used);
            // 将当前元素移除切换其他元素，移除后标记为未使用
            path.pop_back();
            used[i] = false;
        }
    }
public:
    vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) {
        // 标记元素是否被使用
        vector<bool> used(nums.size(), false);
        backtracking(nums, used);
        return res;
    }
};

以思路一为例进行调试

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

class Solution {
private:
    // 用于存放一种排列
    vector<int> path;
    // 用于存放所有全排列
    vector<vector<int>> res;
    // 运用回溯算法求解全排列问题
    void backtracking(vector<int>& nums, vector<bool>& used) {
        // 递归出口（当 path 达到一个排列的个数时，也就是到达叶子节点时，记录答案）
        if (path.size() == nums.size()) {
            res.emplace_back(path);
            return;
        }
        // 在每个位置枚举不用的元素
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            // 如果当前元素已经被使用则跳过此元素
            if (used[i] == true) continue;
            // 若当前元素还未使用，则将其添加到一个排列中，标记已使用
            path.emplace_back(nums[i]);
            used[i] = true;
            // 再重复的添加元素，直到一个排列的个数满足条件
            backtracking(nums, used);
            // 将当前元素移除切换其他元素，移除后标记为未使用
            path.pop_back();
            used[i] = false;
        }
    }
public:
    vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) {
        // 记录元素是否被使用
        vector<bool> used(nums.size(), false);
        backtracking(nums, used);
        return res;
    }
};

int main() {
    vector<int> a = {1, 2, 3};
    // 对 a 中的元素进行全排列
    Solution s;
    vector<vector<int>> results = s.permute(a);
    // 输出全排列的结果
    for (auto& result : results) {
        cout << "[";
        for (auto& i : result) {
            cout << i << " ";
        }
        cout << "] ";
    }
    return 0;
}