平衡二叉树判断：从 O(n²) 暴力递归到 O(n) 自底向上优化

一、平衡二叉树

平衡二叉树（AVL 树）的定义是：一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1，并且左右两个子树都是平衡二叉树。

注意 任意节点的左右子树高度差不超过 1，这意味着整棵树必须满足平衡条件。

二、思路分析

方法一：时间复杂度为 O(n²)

最直观的思路是自顶向下。首先判断根节点是否为空，若为空则返回 true。接着计算左右子树的高度，如果高度差绝对值小于等于 1，再递归检查左右子树是否平衡。

这种方法的问题在于重复计算。每次调用 getHeight 都会遍历该子树的所有节点。对于每个节点，我们都要重新计算其高度，导致大量冗余操作。在极端情况下（如链表形态），时间复杂度会退化为 O(n²)。

方法二：时间复杂度为 O(n)

为了优化效率，我们可以采用自底向上的后序遍历策略。核心思想是在计算高度的同时判断平衡性。

定义一个辅助函数 getHeight：

1. 如果当前节点为空，返回高度 0。
2. 递归获取左子树高度，如果左子树不平衡（返回 -1），直接返回 -1。
3. 递归获取右子树高度，同样检查是否不平衡。
4. 如果左右子树都平衡且高度差 <= 1，返回当前树的高度；否则返回 -1。

主函数只需判断 getHeight(root) 是否 >= 0。这样每个节点只被访问一次，时间复杂度降为 O(n)。

三、代码展示

方案一：自顶向下（O(n²)）

public boolean isBalanced(TreeNode root) {
    if (root == null) {
        return true;
    }
    int leftH = getHeight(root.left);
    int rightH  getHeight(root.right);
     Math.abs(leftH - rightH) <=  
           && isBalanced(root.left) 
           && isBalanced(root.right);
}

   {
     (root == ) {
         ;
    }
       getHeight(root.left);
       getHeight(root.right);
     leftH > rightH ? leftH +  : rightH + ;
}