一、简介
ω-K（omega-K、Ω-K）算法又称波数域算法或距离徙动算法（RMA），是一种基于二维频域精确处理的合成孔径雷达成像算法。其核心思想是通过波数域映射，将球面波前转换为平面波前，实现距离徙动与方位调频的精确解耦。
算法流程主要分为六个步骤：首先对原始回波进行距离向傅里叶变换，转换到距离频域。随后进行方位向傅里叶变换，得到二维频域信号，此时目标的相位历程表现为包含平方根项的耦合形式。接着，乘以参考函数完成距离压缩并补偿参考距离的相位，使残余相位仅与目标距离差相关。最关键的是 Stolt 插值（变换），通过坐标变换将数据从球面域重采样到平面域，将非线性相位转换为线性相位。最后，进行二维逆傅里叶变换，直接输出聚焦良好的复图像。
该算法的最大优势在于其理论精确性，通过一次频域插值统一校正所有距离徙动，无需任何近似假设，特别适用于大斜视、宽波束和高分辨率场景。虽然 Stolt 插值计算量较大，但算法在成像精度方面具有显著优势，成为星载 SAR 高精度成像的标准选择之一。
二、推导
1. 信号模型
合成孔径雷达（SAR）采用线性调频信号（chirp），平台沿直线运动，速度为 $v$。设目标最近斜距为 $R_0$，斜距历程为：
$$R(\eta) = \sqrt{R_0^2 + v^2 \eta^2}$$
其中 $\eta$ 为方位慢时间（毫秒级，一般用来描述雷达平台沿航迹的移动过程）。雷达接收的基频信号（解调后）为：
$$s(\eta, \tau) = A \cdot p_r\left( \tau - \frac{2R(\eta)}{c} \right) \times p_a(\eta) \times \exp\left( -j\frac{4\pi f_0 R(\eta)}{c} \right) \times \exp\left[ j\pi K_r \left( \tau - \frac{2R(\eta)}{c} \right)^2 \right]$$
- $p_a$：方位包络（窗函数）
- $p_r$：距离包络（窗函数）
- $c$：光速
- $K_r$：距离向调频率
- $f_0$：载频频率
- $\tau$：距离快时间（描述距离向的时间，微秒级，特指电磁波在单个脉冲内的传播与变化）
由于常数只是对信号进行缩放，本身不影响什么。且由于 SAR 成像算法的本质是相位补偿，窗函数仅影响信号的幅度包络、频谱的旁瓣特性、积分旁瓣比（ISLR）和峰值旁瓣比（PSLR）。也就代表窗函数不改变聚焦点的位置、聚焦的主瓣宽度理论极限、距离徙动曲线的形状。
因此，在我们研究中可以忽略窗函数，专注于其相位的变化，于是我们可以忽略常数幅度和窗函数，重点分析相位项：
$$s(\eta, \tau) = \exp\left( -j\frac{4\pi f_0 R(\eta)}{c} \right) \cdot \exp\left[ j\pi K_r \left( \tau - \frac{2R(\eta)}{c} \right)^2 \right]$$
物理含义：
第二项是线性调频信号，其中心延时随 $R(\eta)$ 变化，这是导致距离徙动的原因。 第一项是载频引起的方位相位历程，这个相位变化是由雷达与目标的相对运动引起的，与雷达信号的载波频率直接相关。
$t=\frac{2R(0)}{c}$ 代表双程时延（即信号从发射端到目标再返回接收端的时间），$2\pi \times f_0 \times t$ 即其相位。
2. 距离向傅里叶变换
距离向发射的是线性调频信号（chirp），其本质是频率随时间线性变化的信号。所以要先通过距离向 FFT，将信号转换到距离频域。在距离频域中，距离徙动表现为简单的相位形式，此时二维耦合相位可以更清晰地表达为距离频率 $f_\tau$ 和方位时间 $\eta$ 的函数，也方便后续更深一步的处理。
因此，先对距离向 $\tau$ 做傅里叶变换：
$$S(\eta, f_\tau) = \int s(\eta, \tau) \exp(-j2\pi f_\tau \tau) d\tau$$
其中 $f_\tau$ 为距离频率，代入上述已推导出公式 $s(\eta, \tau) = \exp\left[-j\frac{4\pi f_0 R(\eta)}{c} + j\pi K_r \left(\tau - \frac{2R(\eta)}{c}\right)^2\right]$ 能够合并指数项得被积相位为：
$$\Phi(\tau) = \pi K_r \left( \tau - \frac{2R(\eta)}{c} \right)^2 - \frac{4\pi f_0 R(\eta)}{c} - 2\pi f_\tau \tau$$
利用驻定相位原理（POSP），驻点 $\tau_0$ 满足 $\frac{d\Phi}{d\tau}=0$，则有：
$$2\pi K_r \left( \tau_0 - \frac{2R(\eta)}{c} \right) - 2\pi f_\tau = 0$$
解得 $\tau_0 = \frac{2R(\eta)}{c} + \frac{f_\tau}{K_r}$，代入 $\Phi(\tau)$ 得：
$$\Phi(\tau_0) = \pi K_r \left( \frac{f_\tau}{K_r} \right)^2 - \frac{4\pi f_0 R(\eta)}{c} - 2\pi f_\tau \left( \frac{2R(\eta)}{c} + \frac{f_\tau}{K_r} \right)$$
化简可得：
$$\Phi(\tau_0) = -\frac{4\pi (f_0 + f_\tau) R(\eta)}{c} - \pi \frac{f_\tau^2}{K_r}$$
根据 POSP，可以得出线性调频信号的傅里叶变换近似为：
$$S(\eta, f_\tau) \approx W_r(f_\tau) \cdot \exp\left[ -j\frac{4\pi (f_0 + f_\tau) R(\eta)}{c} \right] \cdot \exp\left( -j\pi \frac{f_\tau^2}{K_r} \right)$$
$W_r(f_\tau)$ 为距离窗。同样的，我们忽略窗函数，专注于其相位的变化，于是得出：
$$S(\eta, f_\tau) = \exp\left[ -j\frac{4\pi (f_0 + f_\tau) R(\eta)}{c} \right] \cdot \exp\left( -j\pi \frac{f_\tau^2}{K_r} \right)$$
物理含义：
- 第二个指数：距离 chirp 的残余相位，也是我们后续需要进行处理的对象。
- 第一个指数：包含距离徙动和方位调制，且与 $f_\tau$ 耦合，表明不同频率分量对应不同斜距历程。
3. 方位向傅里叶变换（二维频域）
我们推导出的时域的方位信号（多普勒历程）是复杂的调频信号，且与距离深度强烈耦合。直接时域处理无法解析这种耦合。所以需要将之变换到方位频域，看是否能够处理这个问题。
对 $\eta$ 做傅里叶变换：
$$S(f_\eta, f_\tau) = \int S(\eta, f_\tau) \exp(-j2\pi f_\eta \eta) d\eta$$
其中 $f_\eta$ 为方位频率（多普勒频率），与之前的 $S(\eta, f_\tau)$ 公式结合可得出：
$$S(f_\eta, f_\tau) = \exp\left( -j\pi \frac{f_\tau^2}{K_r} \right) \int \exp\left[ -j\frac{4\pi (f_0 + f_\tau)}{c} R(\eta) - j2\pi f_\eta \eta \right] d\eta$$
积分相位为：
$$\phi(\eta) = \frac{4\pi (f_0 + f_\tau)}{c} \sqrt{R_0^2 + v^2 \eta^2} + 2\pi f_\eta \eta$$
同样的，我们应用 POSP，驻点 $\eta^*$ 满足 $\frac{d\phi}{d\eta}=0$，则有：
$$\frac{4\pi (f_0 + f_\tau)}{c} \cdot \frac{v^2 \eta^*}{\sqrt{R_0^2 + v^2 \eta^{*2}}} + 2\pi f_\eta = 0$$
解得：
$$\eta^* = -\frac{c f_\eta R_0}{2 v^2 (f_0 + f_\tau) \sqrt{1 - \left( \frac{c f_\eta}{2 v (f_0 + f_\tau)} \right)^2}}$$
将 $\eta^*$ 代回相位，经整理得二维频域相位表达式：
$$\phi(f_\eta, f_\tau) = -\pi \frac{f_\tau^2}{K_r} - \frac{4\pi R_0}{c} \sqrt{(f_0 + f_\tau)^2 - \left( \frac{c f_\eta}{2v} \right)^2}$$
因此：
$$S(f_\eta, f_\tau) = W(f_\eta, f_\tau) \cdot \exp\left[ j\phi(f_\eta, f_\tau) \right]$$
完整的表达式为：
$$S(f_\eta, f_\tau) = W(f_\eta, f_\tau) \times \exp\left[ -j\pi \frac{f_\tau^2}{K_r} \right] \times \exp\left[ -j\frac{4\pi R_0}{c} \sqrt{(f_0 + f_\tau)^2 - \left( \frac{c f_\eta}{2v} \right)^2} \right]$$
物理含义：
- 物理意义：距离向线性调频信号的残余视频相位。
- 影响：在距离压缩时需补偿此相位才能获得最佳聚焦。
理论支撑验证：不等式 $\left| \frac{c f_\eta}{2v(f_0 + f_\tau)} \right| < 1$ 定义了扇形频谱区域，反映了雷达波束的有限视角。
几何含义：不同 $(f_\eta,f_\tau)$ 对应不同视角的平面波分量，相位值同时记录了目标距离信息 $R(0)$。
距离 - 方位耦合：平方根项同时包含 $f_\tau$ 和 $f_\eta$，描述了距离徙动与方位调频间的关系。
第二相位项（核心） $\exp\left[ -j\frac{4\pi R_0}{c} \sqrt{(f_0 + f_\tau)^2 - \left( \frac{c f_\eta}{2v} \right)^2} \right]$：
第一相位项 $\exp\left[ -j\pi \frac{f_\tau^2}{K_r} \right]$：
幅度项 $W(f_\eta, f_\tau)$：二维频谱的包络，由系统带宽和合成孔径时间决定。
4. ω-K 匹配滤波（参考函数相乘）
对信号进行匹配滤波以修正相位且提高分辨率。构造参考函数，针对参考斜距 $R_{\text{ref}}$（通常取场景中心）：
$$H_{\text{ref}}(f_\eta, f_\tau) = \exp\left( j\pi \frac{f_\tau^2}{K_r} \right) \cdot \exp\left[ j\frac{4\pi R_{\text{ref}}}{c} \sqrt{(f_0 + f_\tau)^2 - \left( \frac{c f_\eta}{2v} \right)^2} \right]$$
第一项补偿距离线性调频残余（距离压缩），第二项补偿参考距离的相位历程。
相乘后：
$$S_c(f_\eta, f_\tau) = S(f_\eta, f_\tau) \cdot H_{\text{ref}}(f_\eta, f_\tau) = W \times \exp\left[ -j\frac{4\pi (R_0 - R_{\text{ref}})}{c} \sqrt{(f_0 + f_\tau)^2 - \left( \frac{c f_\eta}{2v} \right)^2} \right]$$
距离压缩已完成，剩余相位仅依赖于 $\Delta R = R_0 - R_{\text{ref}}$。
物理含义：
- 其他距离目标仍有残余相位，表现为距离徙动，需通过后续 Stolt 插值校正。
在 $\Delta R = R_0 - R_{\text{ref}}=0$ 处的目标相位完全补偿，在该距离实现聚焦。
5. Stolt 插值
$$S_c(f_\eta, f_\tau)=W\times \exp\left[ -j\frac{4\pi (R_0 - R_{\text{ref}})}{c} \sqrt{(f_0 + f_\tau)^2 - \left( \frac{c f_\eta}{2v} \right)^2} \right]=W\times \exp \left{-j (R_0-R_{\text{ref}})\sqrt {\left[\frac {4\pi (f_0+f_\eta)}{c}\right]^2-\left[ \frac{2\pi f_\eta}{v}\right ]^2} \right }$$
为了方便之后的操作，不妨记：
$$K = \frac{4\pi (f_0 + f_\tau)}{c}, \quad K_x = \frac{2\pi f_\eta}{v}$$
$K$ 为距离向波数（含往返），$K_x$ 为方位向空间波数。则相位 $\phi_c$ 为：
$$\phi_c = -\Delta R \cdot \sqrt{K^2 - K_x^2}$$
在其中， $\sqrt{K^2 - K_x^2}$ 和 $K$ 呈现出非线性关系，导致我们不能直接通过傅里叶逆变换实现聚焦。
观察相位形式，我们希望得到线性相位：
$$\phi_{\text{ideal}}=-\Delta R \cdot K_y$$
所以定义：
$$K_y=\sqrt{K^2 - K_x^2}$$
此时 $K=\sqrt{K_y^2+K_x^2}$ 雅各比行列式为：
$$\left | \frac{\partial K}{\partial K_y} \right |=\left | \frac{K_y}{\sqrt{K_y^2+K_x^2} } \right |=\frac{K_y}{K}$$
则变换关系为：
$$S_c'(K_x, K_y) = S_c \left( K_x, \sqrt{K_y^2 + K_x^2} \right) \cdot \frac{K_y}{\sqrt{K_y^2 + K_x^2}}\approx S_c \left( K_x, \sqrt{K_y^2 + K_x^2} \right)$$
（在实际 SAR 处理中， $\frac{K_y}{K}$ 幅度变化缓慢，可近似为常数（或并入窗函数））
因此， $W'(K_x, K_y) = W \left( K_x, \sqrt{K_y^2 + K_x^2} \right) \cdot \frac{K_y}{K} \approx \left( K_x, \sqrt{K_y^2 + K_x^2} \right)$
$$S_c'(K_x, K_y) = W'(K_x, K_y) \cdot \exp\left[-j\Delta R \cdot K_y\right]$$
物理含义：
- 通过 Stolt 插值，将球面波前数据转换为平面波前数据，使目标在二维波数域呈现线性相位，从而经逆傅里叶变换后自然实现方位和距离的同时聚焦，并自动校正距离徙动。
$W'(K_x, K_y)$ 是信号的幅度谱，由系统带宽和合成孔径决定，定义了波数域支撑区。其形状影响图像分辨率（主瓣宽度）和旁瓣电平，通常可分离为方位和距离向窗函数。
相位线性化：相位项 $\exp\left[-j\Delta R \cdot K_y\right]$ 是 $K_y$ 的线性函数，表明在波数域中，目标相位仅与距离差 $\Delta R$ 成正比。
6. 二维逆傅里叶变换与成像
对 $S_c'(K_x, K_y)$ 做二维逆傅里叶变换：
$$s_c(x, y) =\frac{1}{2\pi} \iint S_c' (K_x, K_y) \exp(j K_x x + j K_y y) dK_x dK_y$$
代入 $S_c'(K_x, K_y) = W'(K_x, K_y) \cdot \exp(-j\Delta R \cdot K_y)$ 可得出：
$$s_c(x, y) = \left[ \int W_x(K_x) \exp(j K_x x) dK_x \right] \times \left[ \int W_y(K_y) \exp\left[j K_y (y - \Delta R)\right] dK_y \right]$$
（假设 $W'(K_x, K_y) = W_x(K_x)W_y(K_y)$ 可分离）
$$s_c(x, y) = \omega_x(x) \cdot \omega_y(y - \Delta R) \cdot \exp(j\phi_0)$$
即 $s_c(x, y) \propto \omega_x(x) \cdot \omega_y(y - \Delta R)$
$\omega_x$ 和 $\omega_y$ 分别是 $W_x$ 和 $W_y$ 的逆傅里叶变换（通常是 sinc 函数），表示目标聚焦在方位位置 $x=0$（因平台运动已校正）和距离 $y=\Delta R$ 处。
物理含义：
- 线性相位经逆傅里叶变换产生 sinc 函数峰值，实现方位和距离同时聚焦。
- 所有距离单元通过一次处理完成距离徙动校正和聚焦。
实质上，Stolt 变换就是做了坐标系变换，原始信号物理图像： 在 $(K_x,K)$ 域，相位 $\phi = -\Delta R \cdot \sqrt{K^2 - K_x^2}$ 描述的是球面波前。经过 Stolt 变换后： 在 $(K_x, K_y)$ 域，相位 $\phi = -\Delta R \cdot K_y$ 描述的是平面波前。
三、总结
ω-K 算法是 SAR 成像中的精确二维频域算法，适用于大斜视与高分辨率场景。其核心思想是通过波数域处理，将耦合的距离徙动与方位调频统一校正。
算法流程如下：首先对原始回波进行距离向和方位向的二维傅里叶变换，得到二维频域信号。该信号的相位包含了距离徙动与方位调频的耦合项。随后，乘以参考函数完成距离压缩，并补偿参考距离的相位历程，使残余相位仅与目标距离差相关。最关键的步骤是 Stolt 插值，它通过映射 将信号从球面域重采样到片平面域，从而将球面波前相位转换为线性相位。最终，进行二维逆傅里叶变换，直接得到聚焦良好的复图像。
该算法在二维频域通过一次插值统一校正所有距离徙动，无需近似，精度高。
至此，我们已经完成了ω-K 算法的全部推导。
