算法实战：一维与二维前缀和模板详解

二、二维前缀和

问题描述

给定一个 n x m 的矩阵，进行 q 次询问，每次给出左上角 (x1, y1) 和右下角 (x2, y2)，求该子矩阵内所有元素的和。

算法思路

类比一维情况，我们需要构建一个二维前缀和矩阵 sum，其中 sum[i][j] 表示从 (1, 1) 到 (i, j) 这个矩形区域内所有元素的累加和。

为了简化边界条件处理，通常在矩阵外围补上一行一列的 0。这样下标直接从 1 开始，无需额外判断。

1. 预处理递推公式： sum[i][j] = sum[i-1][j] + sum[i][j-1] - sum[i-1][j-1] + matrix[i-1][j-1] 这里利用了容斥原理：上方区域 + 左方区域 - 重叠区域 + 当前元素。

2. 查询子矩阵和： 对于矩形区域 (x1, y1) 到 (x2, y2)，计算公式为： sum[x2][y2] - sum[x2][y1-1] - sum[x1-1][y2] + sum[x1-1][y1-1]

同样需要注意使用 long long 存储累加和。

C++ 代码实现

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main() {
    // 1. 输入数据
    int n = 0, m = 0, q = 0;
    cin >> n >> m >> q;
    vector<vector<int>> arr(n + 1, vector<int>(m + 1));
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            cin >> arr[i][j];
        }
    }

    // 2. 预处理二维前缀和
    vector<vector<long long>> dp(n + 1, vector<long long>(m + 1));
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] + arr[i][j] - dp[i - 1][j - 1];
        }
    }

    // 3. 处理查询
    int x1 = 0, y1 = 0, x2 = 0, y2 = 0;
    while (q--) {
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
        cout << dp[x2][y2] - dp[x1 - 1][y2] - dp[x2][y1 - 1] + dp[x1 - 1][y1 - 1] << '\n';
    }
    return 0;
}

总结

前缀和的核心在于'空间换时间'。通过额外的存储空间记录前缀信息，将多次重复计算的区间求和转化为简单的加减运算。在实际应用中，务必注意数据范围，当累加值可能超过 int 范围时，应选用 long long 类型。掌握这一模板，能显著提升处理区间类问题的效率。