二分算法实战：A-B 数对与高考志愿问题解析

二、烦恼的高考志愿

2.1 题目描述

给定 m 所学校的录取分数和 n 个学生的成绩，为每个学生分配学校，使得所有学生与对应学校分数的差值绝对值之和最小。

2.2 核心思路

先将学校分数排序。针对每个学生的成绩 b，在录取分数中二分出第一个大于等于 b 的位置 pos。最优解要么在 pos 位置，要么在 pos - 1 位置。我们需要比较这两个位置的差值绝对值，取较小者累加。

边界处理是关键：

• 如果所有分数都大于 b，pos 可能指向首元素，pos - 1 越界。
• 如果所有分数都小于 b，pos 可能指向末尾之后。

解决方法是在数组两端添加哨兵值（Sentinel），避免复杂的下标判断。

2.3 代码实现

这里手动实现了二分查找函数 find，更灵活地控制边界逻辑。

// 烦恼的高考志愿
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 1e5 + 10;
LL a[N], b[N];
int m, n;

// 手动实现二分：寻找第一个 >= x 的位置
LL find(LL x) {
    int l = 1, r = m;
    while (l < r) {
        LL mid = (l + r) / 2;
        if (a[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}

int main() {
    cin >> m >> n;
    for (int i = 1; i <= m; i++) cin >> a[i];

    // 设置哨兵值，防止越界
    a[0] = -1e7; 
    sort(a + 1, a + 1 + m);

    LL ret = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> b[i];
        LL pos = find(b[i]);
        // 比较左右相邻的两个学校
        ret += min(abs(a[pos - 1] - b[i]), abs(a[pos] - b[i]));
    }
    cout << ret << endl;
    return 0;
}

总结

这两道题展示了二分查找的不同应用场景：前者利用区间长度进行计数，后者利用单调性寻找最优匹配。掌握二段性判定、STL 函数特性以及哨兵值技巧，能有效避免边界错误，提升解题效率。