引言
近年来，在合理框架内求解优化问题的元启发式算法的发展引起了全球科学界的极大关注。本文介绍一种基于量子力学原理的创新算法——薛定谔优化算法（Schrödinger Optimizer）。该算法通过量子波粒二象性原理，结合概率探索与确定性利用的'双胞胎更新机制'，有效应对高维复杂搜索空间中的优化问题。
在探索阶段，Schrödinger 方程控制着概率密度函数如何在搜索空间中分散粒子（解）。它提供了一种更具有概率性和动态性的探索机制。另一方面，开发阶段主要取决于 Schrödinger 方程向牛顿经典方程的转变。在这个阶段，种群的行为更具确定性，就像一个根据牛顿第二定律进化的经典系统。这个阶段利用了量子力学原理（波函数的坍缩）和经典牛顿动力学（牛顿第二定律），但更倾向于局部（经典）精确的改进。
- 初始化：和其他群优化算法一样，采用随机初始化。
- 探索阶段：基于波函数的方程式提供了多个或可能的位置。因此，它有助于扩大研究空间和确定新的地点。在探索阶段应用该方程，可以提高随机搜索的有效性，增强生成多种解的能力，降低求解局部解的可能性，提高算法研究过程的效率。由于这些解的复杂性，提出了一个更简单的波：一个模拟无限势阱内粒子解的函数：
因此，提出了这一阶段的更新方程如下：
- 开发阶段：牛顿运动定律决定了物体在特定时间的位置，激发了自由粒子（搜索代理）的利用行为。据此，可得
为了避免陷入局部解，我们将在开发部分加入以下方程
由于转换问题将被切换，这意味着如果算法在指定的迭代次数内未能到达所需的位置，我们可能需要返回到探索阶段。我们在开发和勘探阶段之前加入了一个更新方程，以提高发现新地点的可能性
从勘探阶段到开采阶段的过渡是基于有限序列的 p 和当前迭代 t
算法伪代码：
在 CEC 2019（低维）、CEC 2017（50D 和 100D）、CEC 2022（20D）等基准套件以及 8 个实际工程设计优化问题上进行了广泛测试。与最先进的物理启发算法和先进的元启发式算法的比较测试显示了该算法的优越性能。在 100D CEC 2017 基准测试中，该算法在基于物理的算法中平均排名最高，在 29 个功能中的 20 个功能上表现优于竞争对手。它在新兴的元启发式变体中表现最好。统计检验（Friedman and Wilcoxon signed rank）证实了这些结果的显著性。在工程应用中，该算法总是能以更少的计算量获得更好的解。这些发现强调了该算法在有效解决复杂优化问题方面的潜力。本研究通过将量子启发的概念整合到元启发式范式中，为强大而通用的优化方法开辟了新的可能性。
参考文献
Nazar K. Hussein, Mohammed Qaraad, Abdelwahab M. El Najjar, M.A. Farag, Mostafa A. Elhosseini, Seyedali Mirjalili, David Guinovart, Schrödinger optimizer: A quantum duality-driven metaheuristic for stochastic optimization and engineering challenges, Knowledge-Based Systems, Volume 328, 2025, 114273, https://doi.org/10.1016/j.knosys.2025.114273.
