C++ 红黑树原理与实现：变色旋转及完整代码

2.3 理解红黑树的效率

假设 N 是红黑树树中结点数量，h 最短路径的长度，那么 2^h - 1 <= N < 2^(2 * h) - 1，由此推出 h ≈ logN，也就意味着红黑树增删查改最坏情况也就是走最长路径 2*logN，那么时间复杂度还是 O(logN)。

红黑树的表达相对 AVL 树要抽象一些，AVL 树的直观在于通过高度差控制了平衡，而红黑树是通过四条规则的颜色约束来间接实现近似平衡，他们效率都是同一档次，但是相对而言，插入相同数量的结点，红黑树的旋转次数是更少的，因为红黑树对平衡的控制没那么严格，所以我们比较常用的还是红黑树，因为红黑树的旋转次数更少，效率还不比 AVL 树低，因此实践中红黑树用得比 AVL 树多，这也是红黑树相比 AVL 树的优势。

3 实现红黑树

3.1 红黑树的结构实现

我们用枚举值来表示一下颜色——

我们实现一下红黑树的结构——

3.2 红黑树的插入问题以及插入的代码实现

3.2.1 红黑树中插入一个值的大致过程

1、插入一个值按二叉搜索树规则进行插入，插入后我们只需要观察是否符合红黑树的 4 条规则。 2、如果是空树插入，新增结点是黑色结点。如果是非空树插入，新增结点必须红色结点，因为非空树插入，新增黑色结点就破坏了规则 4，规则 4 是很难维护的。 3、非空树插入后，新增结点必须红色结点，如果父亲结点是黑色的，则没有违反任何规则，插入结束。 4、非空树插入后，新增结点必须红色结点，如果父亲结点是红色的，则违反规则 3。进一步分析，c 是红色，p 为红，g 必为黑，这三个颜色都固定了，关键的变化看 u 的情况，需要根据 u 分为以下几种情况分别处理。

**说明：**下图中假设我们把新增结点标识为 c(cur)，c 的父亲标识为 p(parent)，p 的父亲标识为 g(grandfather)，p 的兄弟标识为 u(uncle)。

3.2.2 三种情况

3.2.3 情况 1：变色

c 为红，p 为红，g 为黑，u 存在且为红，则将 p 和 u 变黑，g 变红。在把 g 当做新的 c，继续往上更新。

分析：因为 p 和 u 都是红色，g 是黑色，把 p 和 u 变黑，左边子树路径各增加一个黑色结点，g 再变红，相当于保持 g 所在子树的黑色结点的数量不变，同时解决了 c 和 p 连续红色结点的问题，需要继续往上更新是因为，g 是红色，如果 g 的父亲还是红色，那么就还需要继续处理；如果 g 的父亲是黑色，则处理结束了；如果 g 就是整棵树的根，再把 g 变回黑色。

情况 1 只变色，不旋转。所以无论 c 是 p 的左还是右，p 是 g 的左还是右，都是上面的变色处理方式。

跟 AVL 树类似，上图向我们展示了一种具体情况，但是实际中需要这样处理的有很多种情况。

下图将以上类似的处理进行了抽象表达，d / e / f 代表每条路径拥有 hb 个黑色结点的子树，a / b 代表每条路径拥有 hb - 1 个黑色结点的根为红的子树，hb >= 0。

下图则分别展示了 hb == 0 / hb == 1 / hb == 2 的具体情况组合分析——

当 hb 等于 2 时，这里组合情况上百亿种，这些样例是帮助我们理解，不论情况多少种，有多么复杂，处理方式都是一样的，变色再继续往上处理即可，所以我们只需要看抽象图即可。

3.2.4 情况 2：单旋 + 变色

c 为红，p 为红，g 为黑，u 不存在或者 u 存在且为黑，u 不存在，则 c 一定是新增结点，u 存在且为黑，则 c 一定不是新增，c 之前是黑色的，是在 c 的子树中插入，符合情况 1，变色将 c 从黑色变成红色，更新上来的。

分析：p 必须变黑，才能解决，连续红色结点的问题，u 不存在或者是黑色的，这里单纯的变色无法解决问题，需要旋转 + 变色。

如果 p 是 g 的左，c 是 p 的左，那么以 g 为旋转点进行右单旋，再把 p 变黑，g 变红即可。p 变成课这颗树新的根，这样子树黑色结点的数量不变，没有连续的红色结点了，且不需要往上更新，因为 p 的父亲是黑色还是红色或者空都不违反规则。

如果 p 是 g 的右，c 是 p 的右，那么以 g 为旋转点进行左单旋，再把 p 变黑，g 变红即可。p 变成课这颗树新的根，这样子树黑色结点的数量不变，没有连续的红色结点了，且不需要往上更新，因为 p 的父亲是黑色还是红色或者空都不违反规则。

3.2.5 情况 3：双旋 + 变色

c 为红，p 为红，g 为黑，u 不存在或者 u 存在且为黑，u 不存在，则 c 一定是新增结点，u 存在且为黑，则 c 一定不是新增，c 之前是黑色的，是在 c 的子树中插入，符合情况 1，变色将 c 从黑色变成红色，更新上来的。

分析：p 必须变黑，才能解决，连续红色结点的问题，u 不存在或者是黑色的，这里单纯的变色无法解决问题，需要旋转 + 变色。

如果 p 是 g 的左，c 是 p 的右，那么先以 p 为旋转点进行左单旋，再以 g 为旋转点进行右单旋，再把 c 变黑，g 变红即可。c 变成课这颗树新的根，这样子树黑色结点的数量不变，没有连续的红色结点了，且不需要往上更新，因为 c 的父亲是黑色还是红色或者空都不违反规则。

如果 p 是 g 的右，c 是 p 的左，那么先以 p 为旋转点进行右单旋，再以 g 为旋转点进行左单旋，再把 c 变黑，g 变红即可。c 变成课这颗树新的根，这样子树黑色结点的数量不变，没有连续的红色结点了，且不需要往上更新，因为 c 的父亲是黑色还是红色或者空都不违反规则。

3.2.6 红黑树插入的代码实现

代码如下所示——

3.3 红黑树的旋转

3.3.1 右旋

3.3.2 左旋

3.3.3 左右双旋

3.3.4 右左双旋

3.4 红黑树的查找问题

红黑树的查找就按搜索二叉树的逻辑来实现就可以了，时间复杂度是 O(logn)。

3.5 Size()

还是同样的问题，这里传根不能直接传，得从外部调用内部的函数完成传根——

核心原因：封装性 vs 递归需求的矛盾

3.5.1 公共接口：不需要传 root

public: int Size() { return _Size(_root); } // 用户只需调用 tree.Size() 
int Height() { return _Height(_root); } // 简单、安全、易用

3.5.2 私有实现：必须传 root

private: int _Size(Node* root) { // 递归必须传当前节点
    if (root == nullptr) return 0;
    return _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1; // 递归调用
}

3.5.3 解决方案：双重接口设计

因此我们的解决方案如下——

3.5.3.1 公共层（面向用户）

// 用户看到的简单接口
tree.Size(); // 不需要参数
tree.Height(); // 直接使用
tree.IsBalanceTree();

3.5.3.2 私有层（内部递归）

// 递归实现的辅助函数
_Size(root); // 需要节点参数
_Height(root); // 支持递归遍历
_IsBalanceTree(root);

3.5.4 为什么要设计成双重接口？

// 方案 1：让用户传 root（不好）
tree.Size(someNode); // 用户可能传错节点，不安全
// 方案 2：放弃递归（不好）
// 用迭代实现 Size()，但代码复杂，性能可能更差
// 方案 3：暴露_root（很不好）
tree._Size(tree._root); // 破坏封装，会很危险，不安全

3.5.5 总结

3.5.6 Size() 双重接口设计实现

3.6 Height()

外部（public）——

内部（private）——

3.7 IsBalanceTree()

外部（public）——

内部（private）——

3.8 中序遍历：InOrder()

外部（public）——

内部（private）——

3.9 验证红黑树

这里获取最长路径和最短路径，检查最长路径不超过最短路径的 2 倍是不可行的，因为就算满足这个条件，红黑树也可能颜色不满足规则，当前暂时没出问题，后续继续插入还是会出问题的。所以我们还是去检查 4 点规则，满足这 4 点规则，一定能保证最长路径不超过最短路径的 2 倍。

1、规则 1 枚举颜色类型，天然实现保证了颜色不是黑色就是红色。 2、规则 2 直接检查根即可。 3、规则 3 前序遍历检查，遇到红色结点查孩子不太方便，因为孩子有两个，且不一定存在，反过来检查父亲的颜色就方便多了，即孩子不一定存在，父亲一定存在。 4、规则 4 前序遍历，遍历过程中用形参记录根节点到当前结点的 blackNum（黑色结点数量），前序遍历遇到黑色结点就++blackNum，走到空就计算出了一条路径的黑色结点数量。再任意一条路径黑色结点数量作为参考值，依次比较即可。

3.10 红黑树的删除

和 AVL 树那里一样，红黑树这里的删除我们也不做讲解——

有兴趣的可以去看一下参考资料，书的话推荐看一下《算法导论》或者《STL 源码剖析》，这两本书里面会有讲解。

完整代码示例与实践演示

RBTree.h：

#pragma once
#include<iostream>
using namespace std;
#include<assert.h>

// 枚举值表示颜色
// 保障不是黑色就是红色
enum Color { BLACK, RED };

// 这里我们默认按 key / value 结构实现
// 构造
template<class K,class V>
struct RBTreeNode {
    // 更新控制平衡也要加入 parent 指针
    pair<K, V> _kv;
    RBTreeNode<K, V>* _left;
    RBTreeNode<K, V>* _right;
    RBTreeNode<K, V>* _parent;
    Color _col;
    
    // 初始化
    RBTreeNode(const pair<K, V>& kv) :_kv(kv)
        , _left(nullptr)
        , _right(nullptr)
        , _parent(nullptr)
        , _col(RED) {}
};

template<class K,class V>
struct RBTree {
    typedef RBTreeNode<K, V> Node;
    // 重命名节点
    public:
    bool Insert(const pair<K, V>& kv) // 红黑树的插入
    {
        if (_root == nullptr) {
            _root = new Node(kv);
            _root->_col = BLACK;
            return true;
        }
        Node* parent = nullptr;
        Node* cur = _root;
        while (cur) {
            if (cur->_kv.first < kv.first) {
                parent = cur;
                cur = cur->_right;
            } else if (cur->_kv.first > kv.first) {
                parent = cur;
                cur = cur->_left;
            } else {
                return false;
            }
        }
        // 插入的是红色的节点（新增）
        cur = new Node(kv);
        cur->_col = RED;
        if (parent->_kv.first < kv.first) {
            parent->_right = cur;
        } else {
            parent->_left = cur;
        }
        cur->_parent = parent;
        while (parent && parent->_col == RED) {
            Node* grandfather = parent->_parent;
            if (grandfather->_left == parent) {
                // g
                // p u
                // c
                Node* uncle = grandfather->_right; // 叔叔存在且为黑
                if (uncle && uncle->_col == RED) {
                    // 变色 + 继续往上处理
                    parent->_col = uncle->_col = BLACK;
                    grandfather->_col = RED;
                    cur = grandfather;
                    parent = cur->_parent;
                } else {
                    // 叔叔不存在或者叔叔存在且为黑
                    // g
                    // p u
                    // c
                    // 单旋 + 变色
                    if (cur == parent->_left) {
                        RotateR(grandfather);
                        parent->_col = BLACK;
                        grandfather->_col = RED;
                    } else {
                        // g
                        // p u
                        // c
                        // 双旋 + 变色
                        RotateL(parent);
                        RotateR(grandfather);
                        cur->_col = BLACK;
                        grandfather->_col = RED;
                    }
                    break;
                }
            } else {
                // g
                // u p
                Node* uncle = grandfather->_left; // 叔叔存在且为红->变色即可
                if (uncle && uncle->_col == RED) {
                    parent->_col = uncle->_col = BLACK;
                    grandfather->_col = RED;
                    // 继续往上处理
                    cur = grandfather;
                    parent = cur->_parent;
                } else {
                    // 情况二：叔叔不存在或者存在且为黑
                    // 旋转 + 变色
                    // g
                    // u p
                    // c
                    if (cur == parent->_right) {
                        RotateL(grandfather);
                        parent->_col = BLACK;
                        grandfather->_col = RED;
                    } else {
                        // g
                        // u p
                        // c
                        RotateR(parent);
                        RotateL(grandfather);
                        grandfather->_col = RED;
                    }
                    break;
                }
            }
        }
        _root->_col = BLACK; // 不去判断，直接变成黑的
        return true;
    }
    
    // -------------旋转----------------
    // 右旋
    void RotateR(Node* parent) {
        Node* subL = parent->_left;
        Node* subLR = subL->_right;
        parent->_left = subLR;
        if (subLR) subLR->_parent = parent;
        Node* parentParent = parent->_parent;
        subL->_right = parent;
        parent->_parent = subL;
        if (parent == _root) {
            _root = subL;
            subL->_parent = nullptr;
        } else {
            if (parentParent->_left == parent) {
                parentParent->_left = subL;
            } else {
                parentParent->_right = subL;
            }
            subL->_parent = parentParent;
        }
    }
    
    // 左旋
    void RotateL(Node* parent) {
        Node* subR = parent->_right;
        Node* subRL = subR->_left;
        // 处理 subRL 与 parent 的关系
        parent->_right = subRL;
        if (subRL) subRL->_parent = parent;
        Node* parentParent = parent->_parent;
        // 处理 subR 与 parent 的关系
        subR->_left = parent;
        parent->_parent = subR;
        // 处理 subR 与 parentParent 的关系
        if (parentParent == nullptr) {
            _root = subR;
            subR->_parent = nullptr;
        } else {
            if (parent == parentParent->_left) {
                parentParent->_left = subR;
            } else {
                parentParent->_right = subR;
            }
            subR->_parent = parentParent;
        }
    }
    
    // 中序遍历
    void InOrder() {
        _InOrder(_root);
        cout << endl;
    }
    
    // 查找
    Node* Find(const K& key) {
        Node* cur = _root;
        while (cur) {
            if (cur->_kv.first < key) {
                cur = cur->_right;
            } else if(cur->_kv.first > key) {
                cur = cur->_left;
            } else {
                return cur;
            }
        }
        return nullptr;
    }
    
    bool IsBalanceTree() {
        if (_root && _root->_col == RED) return false; // 最左路径黑色节点的数量做参考值，去比较其他路径
        int left_bn = 0;
        Node* cur = _root;
        while (cur) {
            if (cur->_col == BLACK) left_bn++;
            cur = cur->_left; // 不加上会死循环
        }
        return _Checkcolor(_root, 0, left_bn);
    }
    
    int Height() {
        return _Height(_root);
    }
    
    int Size() {
        return _Size(_root);
    }
    
    private:
    // 传根，不能直接传，外部调用内部
    int _Size(Node* root) {
        if (root == nullptr) return 0;
        return _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;
    }
    
    int _Height(Node* root) {
        if (root == nullptr) return 0;
        int leftHeight = _Height(root->_left);
        int rightHeight = _Height(root->_right);
        return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
    }
    
    // root_cur_bn 根节点到当前节点路径上的黑色节点的数量
    // 前序递归
    bool _Checkcolor(Node* root, int root_cur_bn,const int left_bn) {
        if (root == nullptr) {
            // 检查每条路径的黑色节点数量
            if (root_cur_bn != left_bn) {
                cout << "黑色节点的数量不相等" << endl;
                return false;
            }
            return true;
        }
        if (root->_col == BLACK) {
            root_cur_bn++;
        }
        // 检查连续的红色节点
        if (root->_col == RED && root->_parent && root->_parent->_col == RED) {
            cout << root->_kv.first << "存在连续的红色节点" << endl;
            return false;
        }
        return _Checkcolor(root->_left, root_cur_bn, left_bn) && _Checkcolor(root->_right, root_cur_bn, left_bn);
    }
    
    int _InOrder(Node* root) {
        if (root == nullptr) return 0;
        _InOrder(root->_left);
        //cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
        cout << root->_kv.first << " ";
        _InOrder(root->_right);
        ////cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
    }
    
    private:
    Node* _root = nullptr;
};

Tree.cpp：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
#include"RBTree.h"

void TestRBTree1() {
    RBTree<int, int>t; // 常规的测试用例
    int a[] = { 4,2,6,1,3,5,15,7,16,14 };
    for (auto e : a) {
        if (e == 7) {
            int i = 0;
        }
        t.Insert({ e,e });
        cout << "Insert:" << e << "->";
        t.InOrder();
    }
    t.InOrder(); //cout << t.IsBalanceTree() << endl;
}

// 插入一堆随机值，测试平衡，顺便测试一下高度和性能
void TestRBTree2() {
    const int N = 1000000;
    vector<int> v;
    v.reserve(N);
    srand(time(0));
    for (size_t i = 0; i < N; i++) {
        v.push_back(rand() + i);
    }
    size_t begin2 = clock();
    RBTree<int, int> t;
    for (auto e : v) {
        t.Insert(make_pair(e, e));
    }
    size_t end2 = clock();
    cout << "Insert:" << end2 - begin2 << endl;
    cout << t.IsBalanceTree() << endl;
    cout << "Height:" << t.Height() << endl;
    cout << "Size:" << t.Size() << endl;
    size_t begin1 = clock(); // 确定在的值
    /*for (auto e : v) { t.Find(e); }*/
    // 随机值
    for (size_t i = 0; i < N; i++) {
        t.Find((rand() + i));
    }
    size_t end1 = clock();
    cout << "Find:" << end1 - begin1 << endl;
}

int main() {
    //TestRBTree1();
    TestRBTree2();
    return 0;
}

运行结果

TestRBTree1()

TestRBTree2()