数据结构：二叉树基础概念与链式存储实现

数据结构：二叉树基础概念与链式存储实现

一、树的基础概念

1. 树的定义

树是一种非线性数据结构，由 n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。有一个特殊的结点称为根结点，它没有前驱结点。除根结点外，其余结点被分成 M(M>0) 个互不相交的集合 T1、T2、……、Tm，其中每一个集合 Ti 又是一棵结构与树类似的子树。

2. 常见术语

• 结点的度：一个结点含有的子树的个数。
• 叶结点：度为 0 的结点。
• 双亲结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点。
• 树的高度：树中结点的最大层次。

二、二叉树详解

1. 什么是二叉树

二叉树是树的一种特殊形式，其树的度最大为 2。也就是说，一个结点最多有两个分叉。由于普通树结构复杂，实际应用中最常用的是二叉树。

二叉树由一个根结点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成，且子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

2. 特殊的二叉树

• 满二叉树：每一层的结点数都达到最大值。如果层数为 K，结点总数是 2^K - 1。
• 完全二叉树：对于深度为 K 的有 n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为 K 的满二叉树中编号从 1 至 n 的结点一一对应时称之为完全二叉树。

注意：满二叉树是一种特殊的完全二叉树。完全二叉树的编号是连续的，中间断开则不是。

3. 顺序存储与性质

对于完全二叉树，我们可以用数组进行存储，下标对应编号。逻辑上是树，物理上是数组。

重要性质：

1. 第 i 层最多有 2^(i-1) 个结点。
2. 深度为 h 的二叉树最大结点数为 2^h - 1。
3. 叶子结点数 n0 = 度为 2 的结点数 n2 + 1。
4. 若父亲在数组中下标为 i，则左孩子为 2i+1，右孩子为 2i+2；孩子下标为 i，父亲为 (i-1)/2。

三、二叉树的链式存储实现

非完全二叉树不适合用数组存储，否则空间浪费严重。我们通常采用链式存储，每个结点包含数据域和左右指针域。

1. 节点定义

我们需要定义一个二叉树结构体，包含数据类型、左孩子指针和右孩子指针。为了方便后续修改类型，使用 typedef 重定义数据类型。

// BTNode.h
typedef char BTDataType;

typedef struct BinaryTreeNode {
    BTDataType data;
    struct BinaryTreeNode* left;
    struct BinaryTreeNode* right;
} BTNode;

2. 构建二叉树

通过前序遍历的数组来构建二叉树是一个经典方法。遇到 '#' 表示空结点。

// BTNode.c
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* ch, int* pi) {
    if (ch[*pi] == '#') {
        return NULL;
    }
    BTNode* newnode = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
    if (newnode == NULL) {
        perror("malloc failed");
        return NULL;
    }
    newnode->data = ch[(*pi)++];
    newnode->left = BinaryTreeCreate(ch, pi);
    (*pi)++;
    newnode->right = BinaryTreeCreate(ch, pi);
    return newnode;
}

3. 遍历操作

遍历是二叉树的核心操作，主要有前序、中序、后序和层序四种。

前序遍历：根 -> 左 -> 右

void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return;
    }
    printf("%c ", root->data);
    BinaryTreePrevOrder(root->left);
    BinaryTreePrevOrder(root->right);
}

中序遍历：左 -> 根 -> 右

void BinaryTreeInOrder(BTNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return;
    }
    BinaryTreeInOrder(root->left);
    printf("%c ", root->data);
    BinaryTreeInOrder(root->right);
}

后序遍历：左 -> 右 -> 根

void BinaryTreePostOrder(BTNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return;
    }
    BinaryTreePostOrder(root->left);
    BinaryTreePostOrder(root->right);
    printf("%c ", root->data);
}

层序遍历：借助队列实现，一层一层地访问。

void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root) {
    Queue Q;
    QueueInit(&Q);
    if (root) {
        QueuePush(&Q, root);
    }
    while (!QueueEmpty(&Q)) {
        BTNode* node = QueueFront(&Q);
        printf("%c ", node->data);
        QueuePop(&Q);
        if (node->left) {
            QueuePush(&Q, node->left);
        }
        if (node->right) {
            QueuePush(&Q, node->right);
        }
    }
    QueueDestroy(&Q);
}

4. 其他常用功能

除了遍历，我们还需要计算节点个数、高度、查找特定值以及判断是否为完全二叉树。

节点个数：递归计算左右子树大小加 1。

int BinaryTreeSize(BTNode* root) {
    return root == NULL ? 0 : BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right) + 1;
}

树的高度：取左右子树高度的最大值加 1。

int BinaryTreeHight(BTNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return 0;
    }
    return fmax(BinaryTreeHight(root->left), BinaryTreeHight(root->right)) + 1;
}

查找值为 x 的节点：递归查找，找到即返回地址。

BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x) {
    if (root == NULL) {
        return NULL;
    }
    if (root->data == x) {
        return root;
    }
    BTNode* ret1 = BinaryTreeFind(root->left, x);
    if (ret1) {
        return ret1;
    }
    BTNode* ret2 = BinaryTreeFind(root->right, x);
    if (ret2) {
        return ret2;
    }
    return NULL;
}

判断是否是完全二叉树：利用层序遍历，遇到空结点后不应再有非空结点。

int BinaryTreeComplete(BTNode* root) {
    Queue Q;
    QueueInit(&Q);
    if (root) {
        QueuePush(&Q, root);
    }
    while (!QueueEmpty(&Q)) {
        BTNode* node = QueueFront(&Q);
        QueuePop(&Q);
        if (node == NULL) {
            break;
        }
        QueuePush(&Q, node->left);
        QueuePush(&Q, node->right);
    }
    while (!QueueEmpty(&Q)) {
        BTNode* node = QueueFront(&Q);
        QueuePop(&Q);
        if (node != NULL) {
            QueueDestroy(&Q);
            return 0;
        }
    }
    QueueDestroy(&Q);
    return 1;
}

四、完整代码示例

为了便于理解，这里整理了完整的头文件与源文件结构。请确保所有文件在同一目录下编译运行。

Queue.h

#pragma once
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>
#include <assert.h>

typedef int QDataType;

typedef struct QListNode {
    QDataType data;
    struct QListNode* next;
} QNode;

typedef struct Queue {
    QNode* front;
    QNode* tail;
    int size;
} Queue;

void QueueInit(Queue* q);
void QueuePush(Queue* q, QDataType data);
void QueuePop(Queue* q);
QDataType QueueFront(Queue* q);
QDataType QueueBack(Queue* q);
int QueueSize(Queue* q);
int QueueEmpty(Queue* q);
void QueueDestroy(Queue* q);

Queue.c

#include "Queue.h"

void QueueInit(Queue* q) {
    assert(q);
    q->front = NULL;
    q->tail = NULL;
    q->size = 0;
}

void QueuePush(Queue* q, QDataType data) {
    assert(q);
    QNode* tmp = (QNode*)malloc(sizeof(QNode));
    if (tmp == NULL) {
        perror("malloc failed");
        return;
    }
    tmp->data = data;
    tmp->next = NULL;
    if (q->size == 0) {
        q->front = tmp;
        q->tail = tmp;
    } else {
        q->tail->next = tmp;
        q->tail = tmp;
    }
    q->size++;
}

void QueuePop(Queue* q) {
    assert(q);
    assert(q->size > 0);
    if (q->size == 1) {
        free(q->front);
        q->front = NULL;
        q->tail = NULL;
    } else {
        QNode* del = q->front;
        q->front = q->front->next;
        free(del);
    }
    q->size--;
}

QDataType QueueFront(Queue* q) {
    assert(q);
    assert(q->size > 0);
    return q->front->data;
}

QDataType QueueBack(Queue* q) {
    assert(q);
    assert(q->size > 0);
    return q->tail->data;
}

int QueueSize(Queue* q) {
    assert(q);
    return q->size;
}

int QueueEmpty(Queue* q) {
    assert(q);
    return q->size == 0;
}

void QueueDestroy(Queue* q) {
    assert(q);
    QNode* cur = q->front;
    while (cur) {
        QNode* next = cur->next;
        free(cur);
        cur = next;
    }
    q->front = q->tail = NULL;
    q->size = 0;
}

BTNode.h

#pragma once
#include "Queue.h"

typedef char BTDataType;

typedef struct BinaryTreeNode {
    BTDataType data;
    struct BinaryTreeNode* left;
    struct BinaryTreeNode* right;
} BTNode;

BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* ch, int* pi);
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root);
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root);
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root);
int BinaryTreeSize(BTNode* root);
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root);
int BinaryTreeHight(BTNode* root);
void BinaryTreeDestory(BTNode** root);
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k);
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x);
int BinaryTreeComplete(BTNode* root);
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root);

BTNode.c

#include "BTNode.h"

BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* ch, int* pi) {
    if (ch[*pi] == '#') {
        return NULL;
    }
    BTNode* newnode = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
    if (newnode == NULL) {
        perror("malloc failed");
        return NULL;
    }
    newnode->data = ch[(*pi)++];
    newnode->left = BinaryTreeCreate(ch, pi);
    (*pi)++;
    newnode->right = BinaryTreeCreate(ch, pi);
    return newnode;
}

void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return;
    }
    printf("%c ", root->data);
    BinaryTreePrevOrder(root->left);
    BinaryTreePrevOrder(root->right);
}

void BinaryTreeInOrder(BTNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return;
    }
    BinaryTreeInOrder(root->left);
    printf("%c ", root->data);
    BinaryTreeInOrder(root->right);
}

void BinaryTreePostOrder(BTNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return;
    }
    BinaryTreePostOrder(root->left);
    BinaryTreePostOrder(root->right);
    printf("%c ", root->data);
}

void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root) {
    Queue Q;
    QueueInit(&Q);
    if (root) {
        QueuePush(&Q, root);
    }
    while (!QueueEmpty(&Q)) {
        BTNode* node = QueueFront(&Q);
        printf("%c ", node->data);
        QueuePop(&Q);
        if (node->left) {
            QueuePush(&Q, node->left);
        }
        if (node->right) {
            QueuePush(&Q, node->right);
        }
    }
    QueueDestroy(&Q);
}

void BinaryTreeDestory(BTNode** root) {
    if (*root == NULL) {
        return;
    }
    BinaryTreeDestory(&(*root)->left);
    BinaryTreeDestory(&(*root)->right);
    free(*root);
    *root = NULL;
}

int BinaryTreeSize(BTNode* root) {
    return root == NULL ? 0 : BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right) + 1;
}

int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return 0;
    }
    if (root->left == NULL && root->right == NULL) {
        return 1;
    }
    return BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right);
}

int BinaryTreeHight(BTNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return 0;
    }
    return fmax(BinaryTreeHight(root->left), BinaryTreeHight(root->right)) + 1;
}

int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k) {
    if (root == NULL) {
        return 0;
    }
    if (k == 1) {
        return 1;
    }
    return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}

BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x) {
    if (root == NULL) {
        return NULL;
    }
    if (root->data == x) {
        return root;
    }
    BTNode* ret1 = BinaryTreeFind(root->left, x);
    if (ret1) {
        return ret1;
    }
    BTNode* ret2 = BinaryTreeFind(root->right, x);
    if (ret2) {
        return ret2;
    }
    return NULL;
}

int BinaryTreeComplete(BTNode* root) {
    Queue Q;
    QueueInit(&Q);
    if (root) {
        QueuePush(&Q, root);
    }
    while (!QueueEmpty(&Q)) {
        BTNode* node = QueueFront(&Q);
        QueuePop(&Q);
        if (node == NULL) {
            break;
        }
        QueuePush(&Q, node->left);
        QueuePush(&Q, node->right);
    }
    while (!QueueEmpty(&Q)) {
        BTNode* node = QueueFront(&Q);
        QueuePop(&Q);
        if (node != NULL) {
            QueueDestroy(&Q);
            return 0;
        }
    }
    QueueDestroy(&Q);
    return 1;
}

Test.c

#include "BTNode.h"

int main() {
    char ch[100] = "ABD##E#H##CF##G##";
    int i = 0;
    BTNode* T = BinaryTreeCreate(ch, &i);

    printf("节点个数：%d\n", BinaryTreeSize(T));
    printf("叶子节点个数：%d\n", BinaryTreeLeafSize(T));
    printf("高度：%d\n", BinaryTreeHight(T));
    printf("第 3 层节点个数：%d\n", BinaryTreeLevelKSize(T, 3));

    BTNode* ret = BinaryTreeFind(T, 'G');
    if (ret) {
        printf("找到 G: %c\n", ret->data);
    } else {
        printf("未找到\n");
    }

    if (BinaryTreeComplete(T)) {
        printf("是完全二叉树\n");
    } else {
        printf("不是完全二叉树\n");
    }

    printf("前序：");
    BinaryTreePrevOrder(T);
    printf("\n");
    printf("中序：");
    BinaryTreeInOrder(T);
    printf("\n");
    printf("后序：");
    BinaryTreePostOrder(T);
    printf("\n");
    printf("层序：");
    BinaryTreeLevelOrder(T);
    printf("\n");

    BinaryTreeDestory(&T);
    return 0;
}

以上就是二叉树的基础理论与 C 语言实现的完整讲解。掌握这些内容后，建议多动手编写代码，加深理解。