动态规划入门：斐波那契模型与经典例题

一、动态规划解题模版

1. 状态表示：一般创建一维数组 dp，把 dp 表填满，其中的某一个值就是结果。状态表示指 dp 表中元素的含义。 1.1. 来源：题目要求、经验 + 题目要求，分析问题的过程中的重复子问题
2. 状态转移方程：dp[i] = ?
3. 初始化：保证根据状态转移方程填表时不越界
4. 填表顺序：为了填写当前状态的时候，所需要的状态已经计算过了
5. 返回值：题目要求 + 状态表示

二、第 N 个泰波那契数

题目：第 N 个泰波那契数

题目描述：第四个数是前三个数的和，第一二三个数定为 0 1 1，返回第 n 个数。

题目解析：

解题思路：

1. 状态表示：dp[i] 表示第 i 个泰波那契数
2. 状态转移方程：dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] + dp[i - 3]
3. 初始化：dp[0] = 0, dp[1] = 1, dp[2] = 1
4. 填表顺序：顺序从左向右填表即可
5. 返回值：dp[n]

解题代码：

// 时间复杂度：O(N)
// 空间复杂度：O(N)
class Solution {
    public int tribonacci(int n) {
        if (n < 3) return n == 0 ? 0 : 1;
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = dp[2] = 1;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] + dp[i - 3];
        }
        return dp[n];
    }
}

空间优化：只创建长度为三的数组即可：

// 时间复杂度：O(N)
// 空间复杂度：O(1)
class  {
       {
         (n < )  n ==  ?  : ;
        [] dp =  []{, , };
         (   ; i <= n; i++) {
               dp[];
            dp[] = dp[];
            dp[] = dp[];
            dp[] = tmp + dp[] + dp[];
        }
         dp[];
    }
}